Электростатическое моделирование полосковых линий. Зайцев В.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Равенство (5.8) есть искомая конечно-разностная аппроксимация уравнения
Лапласа в однородном диэлектрике. Записав это равенство для каждого не
принадлежащего границе области узла сетки и учтя заданные значения
потенциалов в узлах, находящихся на границах, мы получим систему
линейных алгебраических уравнений для узловых потенциалов.
Рассмотрим теперь более общий подход, позволяющий не только
переходить
к неравномерным сеткам, но и включать в рассмотрение границы
сложной формы. Метод проиллюстрируем примером равномерной сетки и
двухмерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат. Конечно-
разностная аппроксимация основана на разложении функции в ряд Тейлора,
который позволяет записать разложение функции )(
x
g
в окрестности точки
а:
...|)/)()(!3/(
|)/)()(!2/(|)/)(()()()(
333
222
+∂∂+
+∂∂+∂∂+=+=
a
aa
xagh
xaghxaghaghagxg
Рассматривая потенциал
φ
как функции координаты х, запишем ряд Тейлора
).(|)/)(2/(|)/()()(
3222
hOxhxhaha
aa
+∂∂+∂∂+=+
φφφφ
Здесь символом O(h) обозначены слагаемые, имеющие третий и высшие
порядки по шагу сетки. Пусть точка a - центр пространственной равномерной
квадратной сетки из пяти узлов, изображенной на рис. 5.1. Присвоим
центральному узлу (i, j) нулевой номер, а остальным узлам
– номера от 1 до
4. Тогда )(
1
ha −=
φ
φ
– потенциал в узле 1, )(
0
a
φ
φ
=
– потенциал в узле 0 и
.)(|)/)(2/(|)/(
3
0
222
001
hOxhxh −∂∂+∂∂−=
φφφφ
(5.9)
Аналогично для )(
3
ha +
=
φ
φ
)(|)/)(2/(|)/(
3
0
222
003
hOxhxh +∂∂+∂∂+=
φφφφ
. (5.10)
Складывая эти равенства, получаем
18

Страницы