Составители:
Рубрика:
Пример 4.10
Вычислить интеграл
−3cos
2
x − sin x cos x +sin
2
x
sin x(1 + cos x)
dx.
Применим универсальную подстановку tg
x
2
= t, x =2arctgt,
dx =
2 dt
1+t
2
, cos x =
1 − t
2
1+t
2
, sin x =
2t
1+t
2
.
Получим
−3
(1−t
2
)
2
(1+t
2
)
2
−
2t(1−t
2
)
(1+t
2
)
2
+
4t
2
(1+t
2
)
2
2t
1+t
2
1+
1−t
2
1+t
2
2dt
1+t
2
=
=
1
2
−3+10t
2
− 3 t
4
− 2 t +2t
3
(1 + t
2
) t
dx
Выделим целую часть неправильной дроби и простейшие дро-
би:
1
2
−3t
4
+2t
3
+10t
2
− 2t − 3
(1 + t
2
) t
dx =
−3t
2
+1+
8t − 2
1+t
2
−
3
2t
dt =
= −
3t
2
4
+ t −
3
2
ln |t| +4
2t
t
2
+1
dt − 2
1
1+t
2
dt =
= −
3t
2
4
+ t −
3
2
ln |t| +4ln|1+t
2
|−2 arctg t + C =
t =tg
x
2
=
= −
3
4
tg
2
x
2
+tg
x
2
−
3
2
ln
tg
x
2
+4ln
1+tg
2
x
2
− x + C.
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
