Составители:
Рубрика:
3.4. Интегрирование рациональных функций
Рациональной дробью или рациональной функцией от одной пе-
ременной называется выражение вида
P
n
(x)
Q
m
(x)
,гдеP
n
(x) и Q
m
(x)
многочлены с вещественными коэффициентами степени n и m со-
ответственно. Рациональная дробь называется правильной, если
n<m.Еслиn m, то дробь называется неправильной.Если
дробь неправильная, то поделив числитель на знаменатель (вооб-
ще говоря с остатком), ее можно представить в виде суммы мно-
гочлена и правильной рациональной дроби.
Для интегрирования правильной рациональной дроби нужно
сначала разложить знаменатель на множители вида (x − x
i
)
ν
i
,
где x
i
– вещественные корни Q
m
(x) кратности ν
i
, или (x
2
+ p
k
x +
q
k
)
µ
k
, которые отвечают парам комплексно сопряженных корней
a
k
± ib
k
(i – мнимая единица) кратности µ
k
многочлена Q
m
(x).
После этого, пользуясь методом неопределенных коэффициентов,
нужно разложить дробь
P
n
(x)
Q
m
(x)
в сумму простейших дробей ви-
да:
A
(x − x
i
)
k
, ( k 1) и
Mx+ N
(x
2
+ px + q)
1
,атакже
Mx+ N
(x
2
+ px + q)
k
,
(k>1), интегрирование которой сводится к последовательному
понижению степени k с помощью рекуррентного соотношения (см.
[1]–[4]).
Пример 3.8
Разложить на простейшие дробь
x +1
(x − 1)
2
(x
2
+2x +2)
.Знаме-
натель этой дроби имеет вещественный корень второй кратности
и пару комплексных корней первой кратности, отвечающих квад-
ратному трехчлену x
2
+2x +2. Представим данную дробь в виде
x +1
(x − 1)
2
(x
2
+2x +2)
=
A
(x − 1)
2
+
B
x − 1
+
Cx + D
x
2
+2x +2
.
1
Интегрирование таких дробей изложено в подразделе 3.2.
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
