Высшая математика. Неопределенный интеграл. Методические указания - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Если правую часть этого соотношения привести к общему знаме-
нателю, то он совпадет со знаменателем левой части. Следова-
тельно, необходимо подобрать неопределенные коэффициенты A,
B, C, D так, чтобы числители были тождественно равны, т.е.
x +1≡ A(x
2
+2x +2)+B(x − 1)(x
2
+2x +2)+(Cx + D)(x − 1)
2
.
Подставим x =1в обе части этого тождества, получим 2=5A,
следовательно A =2/5. Приравняем коэффициенты при одинако-
вых степенях x в левой и правой частях тождества
x
3
0=B + C,
x
2
0=A +2B − B + D − 2C,
x
1
1=2A + C +2B − 2B − 2D,
x
0
1=2A − 2B + D.
Решив эту систему любым способом, получим B = −
3
25
, C =
3
25
,
D = −
1
25
. Таким образом,
x +1
(x − 1)
2
(x
2
+2x +2)
=
2
5(x − 1)
2
−
3
25(x − 1)
+
3x − 1
25(x
2
+2x +2)
.
Используя полученный результат, вычислим интеграл
x +1
(x − 1)
2
(x
2
+2x +2)
dx =
2
5(x − 1)
2
dx −
3
25(x − 1)
dx+
+
3x − 1
25(x
2
+2x +2)
dx = −
2
5(x − 1)
−
3
25
ln |x − 1|+
+
3
25 · 2
(2x +2)−
2
3
− 2
x
2
+2x +2
dx = −
2
5(x − 1)
−
3
25
ln |x − 1|+
+
3
50
ln |x
2
+2x +2|−
4
25
d(x +1)
(x +1)
2
+1
= −
2
5(x − 1)
−
3
25
ln |x − 1|+
+
3
50
ln |x
2
+2x +2|−
4
25
arctg(x +1)+C.
С помощью разложения рациональной дроби на простейшие
выполняются задания 5 и 6 индивидуальной работы.
9

Страницы