Составители:
Рубрика:
Пример 26
Найти интеграл
√
1 − x
2
x
dx.
Решение
Здесь целесообразно вместо подстановки Эйлера поло-
жить x =sint, dx =costdt,
√
1 − x
2
=cost.
√
1 − x
2
x
dx =
cos
2
t
sin t
dt =
1 − sin
2
t
sin t
dt =
=
dt
sin t
−
sin tdt=
=ln
tg
t
2
+cosy + C =
=
1
2
ln
1 −
√
1 − x
2
1+
√
1 − x
2
+
√
1 − x
2
+ C.
Пример 27
Найти интеграл
dx
x
√
1+x
2
.
Решение
Полагая x =tgt, получим dx =
dt
cos
2
t
и
dx
x
√
1+x
2
=
dt
cos
2
t
cos t · cos t
sin t ·1
=
dt
sin t
=lntg
t
2
+ C.
Возвращаясь к переменной x, заменим tg
t
2
=
x
√
1+x
2
+1
.
5.5. Понятие “неберущихся” интегралов
Как уже было показано, в отличие от действия диффе-
ренцирования, не существует простых правил, позволяющих
находить первообразные для любых элементарных функций,
33
