Составители:
Рубрика:
8.2. Несобственные интегралы от
неограниченных функций
(второго рода)
Рассмотрим теперь функцию y = f(x), заданную в ко-
нечном промежутке (a, b), но неограниченную в нем. Более
определенно: пусть функция ограничена в любом промежутке
[a, b − ε], 0 < ε < b − a, но lim
ε→0
f(x) = ∞.
Определение 3
Рассмотрим символ
Z
b
a
f(x) dx и назовем его несобствен-
ным интегралом от неограниченной функции. Если существует
конечный предел lim
ε→0
Z
b−ε
a
f(x) dx, то несобственный интеграл
от неограниченной функции
Z
b
a
f(x) dx называется сходящим-
ся, и этот предел принимается за величину несобственного ин-
теграла от неограниченной функции.
В противном случае интеграл называется расходящимся.
Согласно определению,
Z
b
a
f(x) dx = lim
ε→0
(F (b − ε) − F (a)) = lim
ε→0
F (b − ε) − F (a),
где F (x) – любая первообразная для f(x), 0 < ε < b − a. Ес-
ли обозначить lim
ε→0
F (b − ε) = F (b), то получим, как и ранее,
Z
b
a
f(x) dx = F (b)−F (a), т.е. и на этот интеграл можно перене-
сти определение обычного определенного интеграла. Очевид-
но, что условие существования конечного предела lim
ε→0
F (b −ε)
является необходимым и достаточным условием сходимости
несобственного интеграла от неограниченной функции.
Пример 23
Вычислить интеграл
Z
1
0
dx
√
1 − x
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »