Составители:
Рубрика:
символ
Z
+∞
a
f(x) dx как несобственный интеграл по бесконеч-
ному промежутку (первого рода).
Несобственный интеграл
Z
+∞
a
f(x) dx называется сходящим-
ся, если существует конечный предел lim
n→+∞
Z
N
a
f(x) dx. Этот
предел принимается за значение несобственного интеграла по
бесконечному промежутку:
Z
+∞
a
f(x) dx = lim
N→+∞
Z
N
a
f(x) dx.
В противном случае интеграл называется расходящимся.
Согласно определению,
Z
+∞
a
f(x) dx = lim
N→+∞
(F (N) − F (a)) =
= lim
N→+∞
F (N) − F (a),
(22)
где F (x) – любая первообразная для f(x). Естественно обозна-
чить lim
N→+∞
F (N) = F (+∞). Тогда (22) можно записать
Z
+∞
a
f(x) dx = F (+∞) − F (a), (23)
и, таким образом, перенести на несобственный интеграл перво-
го рода определение обычного определенного интеграла. При
этом “несобственность” интеграла выражается в том, что это
определение выражается через предел: F (∞) = lim
N→+∞
F (N).
Из формулы (22) следует, что существование конечного
lim
N→+∞
F (N) является необходимым и достаточным условием
сходимости несобственного интеграла первого рода.
Пример 22
Исследовать сходимость интеграла
Z
+∞
1
dx
x
p
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
