Составители:
Рубрика:
меньше ρ. Действительно, используя свойство равномерной непре-
рывности f(x) (теорема Кантора), можно доказать следую-
щую теорему Кантора.
Теорема 4
Пусть y = f(x) задана и непрерывна на [a, b]. Тогда для
любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что при ρ < δ
Z
b
a
f(x) dx − J
< ε.
Из этой теоремы следует, что
Z
b
a
f(x) dx = lim
ρ→0
J.
Исходим из предположения, что непрерывная функция име-
ет первообразную. И это предположение было положено в ос-
нову определения определенного интеграла. При более строгом
подходе за определение определенного интеграла от функции
y = f(x) в промежутке [a, b] принимается предел интеграль-
ных сумм при ρ → 0, если этот предел существует и не за-
висит ни от выбора разбиения, ни от выбора точек ξ на этом
разбиении. Согласно известной теореме Римана, в рассматри-
ваемом случае определенный интеграл существует. Опираясь
на этот факт, можно доказать теорему Барроу и как след-
ствие установить существование первообразной непрерывной
функции и далее вывести формулу для вычисления опреде-
ленного интеграла, называемой формулой Ньютона–Лейбница
Z
b
a
f(x) dx = F (b) − F (a) , где F (x) – любая первообразная подын-
тегральной функции. Эта формулу положена в основу опреде-
ления определенного интеграла.
8. Несобственные интегралы
Рассмотрен определенный интеграл и его приложения в
предположении, что промежуток интегрирования ограничен,
а подынтегральная функция непрерывна. Для многих прило-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
