Высшая математика. Определенный интеграл. Зингер А.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

7. Определенный интеграл как
предел интегральных сумм
При выводе формул прямоугольников интервал разбивался
на равные части и значения функции выбирались на концах
или в середине этих частей с целью, главным образом, удоб-
ства вычислений. На самом деле, основным является условие,
чтобы части были равномерно малыми, а точки внутри каждой
части могут выбираться произвольно, и это не должно влиять
на точность приближенной формулы.
Пусть y = f(x) задана и непрерывна на [a, b]. Выберем
некоторое n и разобьем промежуток [a, b] на n частей точками
a = x
0
< x
1
< ··· < x
n−1
< x
n
= b. Обозначим ∆x
k
= x
k
− x
k−1
и ранг разбиения ρ = max{∆x
1
, . . . , ∆x
n
}. На каждой из частей
выбираем по точке ξ
k
, т.е. x
k−1
6 ξ
k
6 x
k
, k = 1, . . . , n. Соста-
вим величину J =
n
X
k=1
f(ξ
k
)∆x
k
. Эта величина обычно называ-
ется ин тегральной суммой. Представим
Z
b
a
f(x) dx в виде
Z
b
a
f(x) dx =
n
X
k=1
Z
x
k
x
k−1
f(x) dx. (21)
Применив к каждому интегралу в правой части (21) теорему
о среднем, получим
Z
b
a
f(x) dx =
n
X
k=1
f(c
k
)∆x
k
, x
k−1
< c
k
< x
k
.
В силу непрерывности f(x) и для достаточно малых ∆x
k
функ-
ция на каждом частичном промежутке меняется мало, и f(c
k
)
может быть приближенно заменена на f(ξ
k
) для любого ξ
k
из этого промежутка. Получим
Z
b
a
f(x) dx ≈
n
X
k=1
f(ξ
k
)∆x
k
=
J. Причем период такого приближения будет тем выше, чем

Страницы