Составители:
Рубрика:
жений важным является понятие интеграла без этих ограни-
чений.
8.1. Несобственные интегралы по
бесконечному промежутку
(первого рода)
Пусть непрерывная функция y = f(x) задана на [a, ∞).
Введем символ
Z
∞
a
f(x) dx. Для начала возьмем пример, по-
ясняющий, как придать смысл этому символу.
Пример 21
Для функции y =
1
1 + x
2
, заданной на [0, ∞], найти пло-
щадь под ее графиком на этом промежутке (рис. 10).
x
y
0
y =
1
1 + x
2
N
Рис. 10. Площадь фигуры
на полубесконечном
промежутке
В данном случае нельзя
найти площадь “бесконеч-
ной криволинейной трапе-
ции”, но можно найти пло-
щадь конечной ее части,
опирающейся на промежу-
ток [0, N] при любом ко-
нечном N и посмотреть,
что будет происходить с этой площадью при неограниченном
увеличении N; S
[0, N ]
=
Z
N
0
dx
1 + x
2
= arctg N →
π
2
при N → ∞.
Таким образом, по мере возрастания N площадь S
[0, N ]
при-
ближается к
π
2
тем ближе, чем больше N. Следовательно,
за площадь этой “бесконечной” трапеции естественно принять
S
[0, ∞)
= lim
N→∞
S
[0, N]
=
π
2
. Подобным же образом следует посту-
пить в общем случае.
Определение 2
Пусть y = f(x) задана и непрерывна на [a, ∞). Определим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
