Составители:
Рубрика:
Решение
Функция y =
1
√
1 − x
2
непрерывна и ограничена в любом
промежутке [0, 1 − ε],
0 < ε < 1, а при x = 1 обращается в бесконечность. Для 0 <
ε < 1
Z
1
0
dx
√
1 − x
2
= lim
ε→0
Z
1−ε
0
dx
√
1 − x
2
= lim
ε→0
arcsin(1 − ε) =
π
2
.
Если функция ограничена в промежутке [a, b], но обраща-
ется в бесконечность в точке x = a, то несобственный интеграл
определяется, как lim
ε→0
Z
b
a+ε
f(x) dx =
Z
b
a
f(x) dx.
Если функция обращается в бесконечность в некоторой внут-
ренней точке из промежутка [a, b], a < c < b, то
Z
b
a
f(x) dx =
Z
c
a
f(x) dx +
Z
b
c
f(x) dx. (24)
Если оба интеграла, стоящие в правой части (24) сходятся, то
и интеграл в промежутке [a, b] сходится.
На несобственные интегралы второго рода также распро-
страняются свойства определенного интеграла.
Пример 24
Вычислить интеграл
Z
1
0
dx
x
q
.
Решение
Положим x = t
−1
, dx = −t
−2
dt. При x = 0 t = ∞, а при
x = 1 t = 1. Если q 6= 1, то
Z
1
0
dx
x
q
=
Z
∞
1
dt
t
2−q
. Этот интеграл
сходится при 2−q > 1 или при q < 1 и расходится при 2−q < 1
или q > 1. При q = 1 имеем (ε > 0)
Z
1
0
dx
x
= lim
ε→0
ln ε = −∞, т.е.
интеграл также расходится.
Этот интеграл может быть вычислен непосредственно че-
рез первообразную для
1
x
q
. Это решение иллюстрирует тот
факт, что несобственный интеграл от неограниченной функ-
ции при помощи простой замены переменной может быть пре-
