Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(0, a) a
ˆa = 2 ·
m
X
i=1
t
i
/m
ˆ
Eˆa = 2 · (m · a/2)/m = a
ˆ
V ˆa = 4 · m
a
12
/m
2
=
a
2
3m
a
a
ˆa = max t
i
, i = 1, 2, ..., m.
P (ˆa < x) =
(
x
a
)
m
0 ≤ x ≤ a
1 x > a
0 x < 0
p(x) =
x
m−1
a
m
(0, a)
ˆ
E(max t
i
) =
m
a
m
Z
a
0
x
m
dx =
ma
m + 1
1
m
a
ˆ
E(max t
i
)
2
=
m
a
m
Z
a
0
u
m+1
du =
m
m + 2
a
2
ˆ
V (max t
i
) =
m
(m + 2)(m + 1)
2
a
2
ˆa =
m + 1
m
max t
i
, i = 1, 2, ..., m.
a
ˆ
V (
m + 1
m
max t
i
) =
(m + 1)
m
2
m
(m + 2)(m + 1)
2
a
2
=
1
m(m + 2)a
2
m
1
m
m
Ìû ìîæåì ðàññóæäàòü òàê: òàê êàê ñðåäíåå ïî ýòîé âûáîðêå áóäåò î÷åâèäíî áëèçêî
ê òî÷êå, äåëÿùåé îòðåçîê (0, a) ïîïîëàì, òî â êà÷åñòâå îöåíêè a âîçüìåì âåëè÷èíó
                                               m
                                               X
                                    â = 2 ·         ti /m
                                               i=1

Âû÷èñëèì ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû

                               Êâ = 2 · (m · a/2)/m = a

                                     a        a2
                                        /m2 =
                               V̂ â = 4 · m
                                     12       3m
Âèäíà, ÷òî îöåíêà íåïëîõà â òîì ñìûñëå, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé, ò.å. åå
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî èñòèííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà a. È âîïðîñ â òîì
òîëüêî, à íàñêîëüêî ìàëà äèñïåðñèÿ.
Âîçüìåì äðóãóþ îöåíêó ïàðàìåòðà a:

                           â = max ti ,        i = 1, 2, ..., m.

Åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà
                                      x
                                          m
                                      (a)
                                                   åñëè 0 ≤ x ≤ a;
                       P (â < x) =  1             åñëè x > a;
                                    
                                      0             åñëè x < 0
                                                             m−1
Ïëîòíîñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà p(x) = xam â èíòåðâàëå (0, a) è íóëþ âíå
åãî.
                                    m Za m       ma
                      Ê(max ti ) = m   x dx =
                                   a 0          m+1
                                           1
Âèäíî, ÷òî îöåíêà ñìåùåíà, è åå ñìåùåíèå = m a.
Äèñïåðñèÿ:
                                2  m Z a m+1       m 2
                     Ê(max ti ) = m    u    du =     a
                                   a 0            m+2
Îòêóäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (47), ïîëó÷àåì
                                                 m
                          V̂ (max ti ) =                  2
                                                            a2
                                           (m + 2)(m + 1)
Ìû ìîæåì ïîñòðîèòü íåñìåùåííóþ îöåíêó
                               m+1
                        â =       max ti ,           i = 1, 2, ..., m.
                                m
Åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî a, à äèñïåðñèÿ

                m+1            (m + 1) 2       m                   1
           V̂ (     max ti ) =                          2
                                                          a2 =
                 m               m       (m + 2)(m + 1)        m(m + 2)a2

Ýòà äèñïåðñèÿ íå ïðîñòî ìåíüøå, ÷åì äèñïåðñèÿ ïåðâîé îöåíêè (ñðåäíåãî), à èìååò
äàæå äðóãóþ àñèìïòîòèêó. Åñëè ïåðâàÿ äèñïåðñèÿ ñ ðîñòîì m áûëà ïðîïîðöèîíàëüíà
1
m
  (ñëó÷àé ò.í. ýôôåêòèâíîé îöåíêè), òî äèñïåðñèÿ âòîðîé îöåíêè ñ ðîñòîì m áóäåò

                                               10

Страницы