Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T = (t
1
, ..., t
m
) P (ξ < t, a)
p(t, a)
a L(a)
•
L
c
(a) =
m
Y
i=1
p(t
i
, a)
•
L
d
(a) =
m
Y
i=1
P (t
i
, a)
•
l
c
(a) = lnL
c
(a) =
m
X
i=1
l n(p (t
i
, a))
l
d
(a) = lnL
d
(a) =
m
X
i=1
l n(P (t
i
, a))
•
E(a) =
m
X
i=1
p(t
i
, a)l n(p (t
i
, a)).
a
ˆa = ARG MAXL (a )
L(a) a
dL
da
= 0
A = (a
i
), i = 1, ..., n
∂L
∂a
i
= 0, i = 1, ..., n
ÿâëÿåòñÿ äåëîì òðóäîåìêèì è áåç ãàðàíòèè óñïåõà. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü â óíèâåðñàëüíîì, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, äîñòàòî÷íî òî÷íîì ìåòîäå
ïîñòðîåíèÿ îöåíîê, êîòîðûé áûë áû ðåàëèçóåì â ñàìîì øèðîêîì êëàññå ñëó÷àåâ íà
ïðàêòèêå. Òàêèì ìåòîäîì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Ââåäåì ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ. Ïóñòü äàíà âûáîðêà T = (t1 , ..., tm ), è P (ξ < t, a) èëè
p(t, a) - åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ïëîòíîñòü ýòîé ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò
ïàðàìåòðà a. Òîãäà "ïðàâäîïîäîáèå"L(a) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
   • åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (ïëîòíîñòü) íåïðåðûâíà; òîãäà
                                                 m
                                                 Y
                                    Lc (a) =           p(ti , a)
                                                 i=1


   • åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (ïëîòíîñòü) äèñêðåòíà; òîãäà
                                                 m
                                                 Y
                                    Ld (a) =           P (ti , a)
                                                 i=1


   • ëîãàðèôìè÷åñêîå;
                                                       m
                                                       X
                             lc (a) = lnLc (a) =             ln(p(ti , a))
                                                       i=1
                                                       Xm
                             ld (a) = lnLd (a) =             ln(P (ti , a))
                                                       i=1

   • Ýíòðîïèÿ.
                                        m
                                        X
                               E(a) =         p(ti , a)ln(p(ti , a)).
                                        i=1

Ñ ïîìîùüþ ââåäåííîãî ïîíÿòèÿ ìû ìîæåì îïðåäåëèòü "Îöåíêó Ìàêñèìàëüíîãî
Ïðàâäîïîäîáèÿ"(MLE) ïàðàìåòðà âûáîðêè ñëåäóþùèì îáðàçîì: ýòî òî çíà÷åíèå a,
êîòîðîå îáðàùàåò â ìàêñèìóì ïðàâäîïîäîáèå äëÿ äàííîé âûáîðêè

                               â = ARG M AXL(a)

Íå èìååò çíà÷åíèÿ, êàêîå ïðàâäîïîäîáèå èñïîëüçóåòñÿ: ïðÿìîå èëè ëîãàðèôìè÷åñêîå,
òàê êàê ìàêñèìóì ëîãàðèôìà ôóíêöèè äîñòèãàåòñÿ â òåõ æå òî÷êàõ, ÷òî è ìàêñèìóì
ñàìîé ôóíêöèè.
Îöåíêà MLE åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé âåêòîðà ïàðàìåòðîâ: ýòî
âåêòîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, íà êîòîðîì ïðàâäîïîäîáèå äîñòèãàåò ìàêñèìóìà.
Åñëè L(a) äèôôåðåíöèðóåìà ïî a, òî MLE íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ
                                        dL
                                           =0
                                        da
 ñëó÷àå ìíîãèõ ïàðàìåòðîâ A = (ai ), i = 1, ..., n èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
                                ∂L
                                    = 0, i = 1, ..., n
                                ∂ai
Íèæå ìîæíî ðàññìîòðåòü         MLE-îöåíêè           äëÿ        íàèáîëåå       òèïè÷íûõ   ôóíêöèé
ðàñïðåäåëåíèÿ.

                                          12

Страницы