Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T = (t
1
, ..., t
m
)
(0, a)
ˆa = max (t
i
)
P (max t
i
< t) =
m
Y
i=1
P (t
i
< t) =
t
b
m
ˆ
E(max t
i
) =
Z
a
0
t((
t
a
)
m
)
0
dt = m
Z
a
0
(
t
a
)
m
dt =
am
m + 1
a
m+1
I
1
=
ˆ
E(
∂ln(p(a))
∂a
)
2
I
1
=
ˆ
E(
p
0
a
p
)
2
m
I
m
(a) = mI
1
(a)
ˆ
V ˆa ≥ I
m
(a)
−1
I
1
(a) =
ˆ
E(
(t
i
− a)
2
σ
4
) =
1
σ
2
. I
m
=
m
σ
2
ˆ
V ˆa =
σ
2
m
I
1
(a) =
ˆ
E(
m
0
a
− 1)
2
=
1
a
2
ˆ
E(m
0
− a)
2
=
a
a
2
=
1
a
. I
m
=
m
a
ˆ
V ˆa =
a
m
m
ˆa
a
          ËÅÊÖÈß 3. ÒÎ×ÍÎÑÒÜ ÎÖÅÍÎÊ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ.
   Òî÷íîñòü âûøå áûëà îïðåäåëåíà êàê ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå, ò.å. êàê
äèñïåðñèÿ + ñìåùåíèå â êâàäðàòå. Ñìåùåíèå ìîãóò èìåòü âñå îöåíêè, â òîì ÷èñëå è
MLE-îöåíêè.
Ïðèìåð ñìåùåííîé MLE-îöåíêè. Ïóñòü çàäàíà âûáîðêà T = (t1 , ..., tm ), ïîä÷èíåííàÿ
ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ íà (0, a). Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå MLE-îöåíêîé
ÿâëÿåòñÿ â = max (ti ). Èìååì
                                               m
                                               Y                    tm
                            P (max ti < t) =         P (ti < t) =
                                               i=1                  b
Îòêóäà íàõîäèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòîé îöåíêè
                              Z a               Z a
                                     t m 0          t       am
                Ê(max ti ) =     t(( ) ) dt = m ( )m dt =
                               0     a           0 a       m+1
                                  a
Îöåíêà ñìåùåíà è ñìåùåíèå = m+1 .
Äðóãîé ñîñòàâëÿþùåé òî÷íîñòè îöåíîê ÿâëÿåòñÿ äèñïåðñèÿ. Äëÿ âåñüìà øèðîêîãî
êëàññà îöåíîê äèñïåðñèÿ ìîæåò áûòü îöåíåíà ïî êðàéíåé ìåðå ñíèçó. Äëÿ ýòîãî
ââîäèòñÿ ïîíÿòèå êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó äëÿ îòäåëüíîãî ñîáûòèÿ
                                              ∂ln(p(a)) 2
                                   I1 = Ê(            )
                                                 ∂a
Èëè
                                      p0a 2
                                        I1 = Ê(
                                         )
                                      p
Êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó äëÿ âûáîðêè èç m ñîáûòèé îïðåäåëÿåòñÿ òàê
                                       Im (a) = mI1 (a)
Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïîíÿòèÿ ôîðìóëèðóåòñÿ íåðàâåíñòâî Ðàî-Êðàìåðà, äàþùåå
èñêîìóþ ãðàíèöó äèñïåðñèè ñíèçó
                                       V̂ â ≥ Im (a)−1
Äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà îöåíîê (ò.í. äîñòàòî÷íûõ) íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â
ðàâåíñòâî, è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêèå îöåíêè ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûìè.
1. ÏÐÈÌÅÐ. (Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå)
                                       (ti − a)2        1     m
                        I1 (a) = Ê(         4
                                                  ) = 2 . Im = 2
                                           σ            σ     σ
                                                      2
                                                    σ
                                           V̂ â =
                                                    m
2. ÏÐÈÌÅÐ. (Ïóàññîíà)
                        m0          1               a  1       m
             I1 (a) = Ê(   − 1)2 = 2 Ê(m0 − a)2 = 2 = . Im =
                         a         a               a   a       a
                                              a
                                      V̂ â =
                                              m
 çàêëþ÷åíèå ñëåäóåò îòìåòèòü õîðîøèå êà÷åñòâà MLE-îöåíîê, ïî êðàéíåé ìåðå,
â àñèìïòîòèêå, ò.å. êîãäà îáúåì âûáîðêè m íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò.  øèðîêîì
êëàññå ñëó÷àåâ çàâèñèìîñòåé ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ îò ïàðàìåòðîâ, MLE-îöåíêè â
ïàðàìåòðîâ a àñèìïòîòè÷åñêè:

                                              15

Страницы