Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H : a = a
0
σ
f(t
1
, ..., t
n
) =
n
X
i=1
(
t
i
− a
0
σ
)
2
g(f, a) = χ
2
n
= n
a H : σ = s
0
f(t
1
, ..., t
n
) =
n
X
i=1
(
t
i
− b
s
0
)
2
, b =
1
n
n
X
i=1
t
i
g(f, a) = χ
2
n−1
H
0
: a = a
1
H
1
: a = a
2
H
0
H
1
H
0
r =
L(a ∈ H
0
)
L(a ∈ H
1
)
; r =
lnL(a ∈ H
0
)
lnL(a ∈ H
1
)
;
I = (1 − δ
1
, 1 + δ
2
)
r > 1 + δ
2
H
0
r < 1 − δ
1
H
1
r ∈ I
r
  3. Òåñò äëÿ íîðìàëüíîé ïëîòíîñòè H : a = a0 è σ èçâåñòíî.
                                                       n
                                                       X   ti − a0 2
                                 f (t1 , ..., tn ) =     (        )
                                                       i=1     σ

                 g(f, a) = χ2n = ðàñïðåäåëåíèå ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû .
     Åñëè a íåèçâåñòíî, è H : σ = s0
                                          n
                                          X                               n
                                             ti − b 2                  1X
                       f (t1 , ..., tn ) = (       ),          ãäå b =       ti
                                         i=1    s0                     n i=1

                                          g(f, a) = χ2n−1

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé êîíêóðèðóþùèõ ãèïîòåç. Ïóñòü ãèïîòåçû H0 : a = a1 è
H1 : a = a2 êîíêóðèðóþò. Ïðèíèìàÿ êàêîå-ëèáî ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî ýòèõ ãèïîòåç,
ìû ìîæåì ñäåëàòü îøèáêè äâóõ òèïîâ:
Îøèáêà 1ãî òèïà: H0 âåðíà, íî ìû îòâåðãàåì åå.
Îøèáêà 2ãî òèïà: H1 âåðíà, íî ìû ïðèíèìàåì H0 .
Åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå - ìèíèìóì îáîèõ îøèáîê - íå âñåãäà ìîæåò áûòü âûïîëíåíî.
×àùå âñåãî ìèíèìèçàöèÿ îäíîé îøèáêè íå óìåíüøàåò (à òî è óâåëè÷èâàåò) âòîðóþ
îøèáêó. Ïîñòóïàþò òàê: çàäàâàÿ ãðàíèöó äëÿ îøèáêè îäíîãî òèïà, ñòðîÿò êðèòåðèé
ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ òàê, ÷òîáû îí ìèíèìèçèðîâàë îøèáêó 2-ãî òèïà.
Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ýòîãî ìîæåò ñëóæèòü êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé,
ïîñ÷èòàííûõ äëÿ îáîèõ ãèïîòåç:

                          L(a ∈ H0 )                         lnL(a ∈ H0 )
                     r=              ;     èëè         r=                 ;
                          L(a ∈ H1 )                         lnL(a ∈ H1 )

Ñòðîèòñÿ èíòåðâàë çíà÷èìîñòè I = (1 − δ1 , 1 + δ2 ).
Åñëè r > 1 + δ2 , òîãäà H0 ïðèíèìàåòñÿ; åñëè r < 1 − δ1 , ïðèíèìàåòñÿ H1 ; åñëè æå
r ∈ I , ãèïîòåçû íåðàçëè÷èìû.
Äëÿ çàäàííîãî óðîâíÿ îøèáêè 1ãî ðîäà, ýòîò êðèòåðèé ìèíèìèçèðóåò îøèáêó 2-ãî
ðîäà.
Íåðàçëè÷èìîñòü (ò.å. íåäèñêðèìèíèðóåìîñòü) ãèïîòåç ìîæåò áûòü, â ÷àñòíîñòè,
ñëåäñòâèåì ìàëîãî îáúåìà äàííûõ, èëè èõ íåðàëè÷èìîñòè â êðèòè÷åñêèõ îáëàñòÿõ
ïðîâåðÿåìûõ ðàñïðåäåëåíèé. Äëÿ îäíîçíà÷íîé ðàáîòû êðèòåðèÿ äèñêðèìèíàöèè
ãèïîòåç íàäî, ÷òîáû äàííûå äîñòàòî÷íî ïîëíî ñîîòâåòñòâîâàëè ñâîåìó èñòèííîìó
ðàñïðåäåëåíèþ è èìåëè äîñòàòî÷íûé îáúåì.
 ïðèâåäåííîé ïðîöåäóðå äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñòðîèòñÿ âåñüìà óïðîùåííî:
ñ ïîìîùüþ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè. Ýòîãî äîñòàòî÷íî äëÿ ðÿäà ñèììåòðè÷íûõ
ðàñïðåäåëåíèé. Íî â îáùåì ñëó÷àå, ðàçóìååòñÿ, íåîáõîäèì áîëåå ñëîæíûé àëãîðèòì
ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà: íà îñíîâå ðàñïðåäåëåíèÿ r.




                                               18

Страницы