Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

• m(x, P ) = ax + b, P = (a, b);
• m(x, P ) = ax
2
+ bx + c, P = (a, b, c); x
• m(x, P ) =
P
n−1
i=0
a
i
x
i
, P = (a
0
, a
1
, ..., a
n−1
);
• m(x, P ) =
P
n−1
i=0
a
i
f
i
(x), P = (a
0
, a
1
, ..., a
n−1
).
a
i
f
i
(x)
m(x)
x
P
m(x, P )
P x
Aexp(−(
x − C
W
)
2
), Ae
−
ln2t
T
,
A
1 + ((x − C)
2
/(W
2
))
, Asin(W t).
exp, sin,
m(x) = exp(−
x
2
2
) m(x) =
1
1+x
2
m(x) = Aexp(−
(x−C)
2
2W
2
) m(x) =
A
1+(x−C)
2
/W
2
)
A
C W A, W
Ïðèìåðû íåêîòîðûõ ïàðàìåòðèçàöèé. Ëèíåéíàÿ ìîäåëü. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà
ïàðàìåòð (íî íå îáÿçàòåëüíî àðãóìåíò) âõîäÿò â îïèñàíèå ôóíêöèè ëèíåéíî.

   • m(x, P ) = ax + b,   P = (a, b); Äàííàÿ ìîäåëü ëèíåéíà êàê ïî ïàðàìåòðó, òàê è
     ïî àðãóìåíòó.

   • m(x, P ) = ax2 + bx + c,   P = (a, b, c); Çäåñü àðãóìåíò x âõîäèò â ìîäåëü óæå
     íåëèíåéíî.
                  P
                  n−1     i
   • m(x, P ) =   i=0 ai x , P = (a0 , a1 , ..., an−1 ); Ýòî ïðèìåð ïîëèíîìèàëüíîé
     ìîäåëè, êîòîðàÿ, â ÷àñòíîñòè, ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê ïðèáëèæåíèå
     íåêîòîðîé ãëàäêîé ôóíêöèè â êîíå÷íîé îáëàñòè åå îïðåäåëåíèÿ.
                  P
                 n−1
   • m(x, P ) =  i=0 ai fi (x), P = (a0 , a1 , ..., an−1 ). Ýòî ïðèìåð áîëåå îáùåãî
     îïèñàíèÿ ðåãðåññèè êàê ëèíåéíîé (ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè ai )
     êîìáèíàöèè ôèêñèðîâàííûõ ôóíêöèé fi (x); òàêîå îïèñàíèå ìîæåò áûòü è
     ïðèáëèæåííûì.

Ëèíåéíûå ìîäåëè îáëàäàþò çíà÷èòåëüíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè äîñòîèíñòâàìè, íî
íå âñåãäà ñïðàâëÿþòñÿ ñ ãëàâíîé çàäà÷åé ïàðàìåòðèçàöèè: äàòü êîìïàêòíîå
îïèñàíèå èíôîðìàöèè, çàêëþ÷åííîé â ìîäåëè ðåãðåññèè m(x). Êðîìå òîãî, ÷àñòî
ïàðàìåòðèçàöèÿ íå âûáèðàåòñÿ íàìè ïî æåëàíèþ, à çàäàåòñÿ óñëîâèÿìè ôèçè÷åñêîãî
ýêñïåðèìåíòà, è îíà ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íåëèíåéíîé êàê ïî àðãóìåíòó x, òàê è ïî
ïàðàìåòðàì P .
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ ìîäåëåé ðåãðåññèé m(x, P ) -
íåëèíåéíûõ ïî âåêòîðó ïàðàìåòðîâ P è ïî àðãóìåíòàì x.

                    x−C 2             ln2t                A
          Aexp(−(      ) ),     Ae−    T     ,                          ,   Asin(W t).
                     W                           1 + ((x − C)2 /(W 2 ))

Íåëèíåéíûå ìîäåëè äàþò êàê ïðàâèëî áîëåå ðåàëèñòè÷åñêîå, ò.å. áîëåå òî÷íîå
îïèñàíèå íàáëþäàåìûõ äàííûõ, ÷åì ëèíåéíûå, íî è îíè ìîãóò îêàçàòüñÿ
íåïðèåìëåìûìè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ, ãëàâíûì îáðàçîì èççà òîãî, ÷òî èñïîëüçóþò
íåáîëüøîé íàáîð âåñüìà èäåàëüíûõ ãëàäêèõ êðèâûõ, òàêèõ êàê exp, sin, è ò.ä.
Ðåàëüíî íàáëþäàåìûå ýôôåêòû ìîãóò áûòü îïèñàíû èäåàëüíûìè êðèâûìè òî÷íî
ëèøü â ðåäêèõ ñëó÷àÿõ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà íåëèíåéíîé ìîäåëè ðåãðåññèè ðàññìîòðèì ïðèìåð ëèíåé÷àòîãî
ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ (èëè ïîãëîùåíèÿ), ïîðîæäàåìîãî âîçäåéñòâèåì íà ìèøåíè
ïîòîêîì ÷àñòèö èëè êâàíòîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ëèíèè â ýòèõ ñïåêòðàõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôèãóðû òèïà ðåçîíàíñîâ, ðàñïîëîæåííûå
íà íåêîòîðîì ïîëîãîì îáðàçîâàíèè. Èäåàëüíûé ðåçîíàíñ (èëè ïèê) î÷åíü óäîáíî
                                                    2
îïèñûâàòü ôóíêöèåé Ãàóññà òèïà m(x) = exp(− x2 ) èëè ôóíêöèåé Êîøè m(x) =
  1
1+x2
     , êîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêè äîñòàòî÷íî ïîäîáíû êîíòóðó ýòèõ ðåçîíàíñîâ (ïèêîâ).
Îñòàåòñÿ ââåñòè ïàðàìåòðû â ýòè ìîäåëè è ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü ïèêà áóäåò ãîòîâà.
                                                  2
Ýòè ïàðàìåòðû ñëåäóþùèå: m(x) = Aexp(− (x−C) 2W 2
                                                                    A
                                                    ) è m(x) = 1+(x−C)2 /W 2 ). Â ýòèõ

îïèñàíèÿõ ïèêîâ ïàðàìåòðû èìåþò ÷åòêèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: A - àìïëèòóäà,
C - öåíòð, W - "øèðèíà"ïèêà. Íà îñíîâå A, W ìîæíî âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïèêà.
Ýòè âåëè÷èíû ñ÷àñòëèâûì îáðàçîì ñîâïàäàþò ñ òåì, ÷òî èíòåðåñóåò ôèçèêà â åãî
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñïåêòðàõ.

                                                 20

Страницы