Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

•
m(x) = Aexp(−
(x−C)
2
(Lx+W )
2
)
L = 0
L 6= 0
n
X
i=0
a
i
x
i
exp(−
(x − C)
2
2W
2
),
n + 2 a
i
, C, W, i = 0, 1, .., n
C, W
n → ∞
P
n
i=0
a
i
x
i
n
•
u(x)
O
k
(x)u(P
n
(x)),
Îäíàêî ãåîìåòðè÷åñêèå ôîðìû ïèêîâ ìîãóò áûòü è íå ñòîëü èäåàëüíûìè êàê
âûøåïåðå÷èñëåííûå è ìîãóò èìåòü îñîáåííîñòè, íå îïèñûâàåìûå èìè, íàïðèìåð,
àñèììåòðèþ, ëîêàëüíûå íåðåãóëÿðíîñòè, è ò.ä.  ýòîì ñëó÷àå, ìîæíî äåéñòâîâàòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì.

  • Ïåðâûé ïóòü - óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà ïàðàìåòðîâ.  îáùåì ñëó÷àå ÷åì áîëüøå
    ïàðàìåòðîâ, òåì ðàçíîîáðàçíåå êðèâûå, êîòîðûå ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ
                                                          (x−C)2
    ìîæåò îïèñàòü. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ m(x) = Aexp(− (Lx+W       )2
                                                                  ), çàâèñÿùàÿ ò 4
    ïàðàìåòðîâ ìîæåò îïèñàòü íå òîëüêî ñèììåòðè÷íûé ïèê (ïðè L = 0), íî è
    àñèììåòðè÷íûé (ïðè L 6= 0). Êðîìå òîãî, ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ôóíêöèÿ
    òèïà                       n
                              X               (x − C)2
                                  ai xi exp(−          ),
                              i=0               2W 2
    çàâèñÿùàÿ îò n + 2 ïàðàìåòðîâ (ai , C, W, i = 0, 1, .., n), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
    îòðåçîê ðÿäà Ýðìèòà, êîòîðûé äàæå ïðè ôèêñèðîâàííûõ C, W ñïîñîáåí
    îïèñàòü ëþáóþ àíàëèòè÷åñêóþ ôèíèòíóþ (õîòÿ áû ïðèáëèæåííî, êàê ãàóññèàí)
                                  P
    ôóíêöèþ ïðè n → ∞; à ïîëèíîì ni=0 ai xi - ôóíêöèÿ îò n ïàðàìåòðîâ, êàê ÷àñòü
    ñòåïåííîãî ðÿäà ìîæåò îïèñàòü ëþáóþ àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ íà âñåé îñè.

  • Îäíàêî óâåëè÷åíèå ÷èñëà ïàðàìåòðîâ èìååò òàêæå è íåãàòèâíûå ïîñëåäñòâèÿ:
    1. óìåíüøåíèå â ñðåäíåì òî÷íîñòè êàæäîãî îòäåëüíîãî ïàðàìåòðà ïðè èõ
    îïðåäåëåíèè; åñëè ïðè ýòîì äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû íå èìåëè ôèçè÷åñêîãî
    ñìûñëà, à ââîäèëèñü ëèøü äëÿ áîëüøåé ïîõîæåñòè ìîäåëè íà äàííûå. òî ýòî
    îçíà÷àåò ïîòåðè ôèçè÷åñêîé èíôîðìàöèè;
    2. âîçíèêíîâåíèå ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèõ òðóäíîñòåé (ñì.íèæå) ïðè îáðàáîòêå
    äàííûõ;
    3. ÷àñòî öåëüþ àíàëèçà ôèçè÷åñêèõ äàííûõ ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ñóììàðíîé
    ëèíèè íà ñîñòàâëÿþùèå åå êîìïîíåíòû (äåêîìïîçèöèÿ ðåãðåññèè); åñëè
    ÷èñëî ïàðàìåòðîâ, îïèñûâàþùèõ êàæäóþ êîìïîíåíòó, ñëèøêîì âåëèêî, òî
    íàäåæíîñòü ðàçëîæåíèÿ ðåçêî ïàäàåò: ñóììàðíàÿ ëèíèÿ îïèñûâàåòñÿ õîðîøî, à
    îòäåëüíûå êîìïîíåíòû ïëîõî - èççà äîïîëíèòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ó ìîäåëè
    ðåãðåññèè.
    Ïîýòîìó, òðåáîâàíèå ìèíèìóìà ÷èñëà ïàðàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì
    óñëîâèåì äëÿ õîðîøåãî àíàëèçà äàííûõ â äàëüíåéøåì. Äðóãèìè ñëîâàìè,
    ÷èñëî ïàðàìåòðîâ äîëæíî áûòü îïòèìàëüíûì: íå ñëèøêîì ìàëåíüêèì, íî è
    íå ñëèøêîì áîëüøèì.
    Îäíèì èç ñïîñîáîâ ïîääåðæàíèÿ ÷èñëà ïàðàìåòðîâ íà ìèíèìàëüíîì óðîâíå
    ïðè îäíîâðåìåííî äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâèÿ ìîäåëè äàííûì ñëóæèò
    ñëåäóþùèé ìåòîä (ìåòîä ðåàëüíîé ôîðìû).
    Âûáèðàåòñÿ òèïè÷íàÿ ôîðìà ëèíèè ðåãðåññèè (èëè îòäåëüíîé åå êîìïîíåíòû,
    åñëè îíà åñòü ñóììà ïîñëåäíèõ). Ïóñòü ýòî áóäåò ôóíêöèÿ u(x). Îíà ìîæåò
    áûòü ïîñòðîåíà èç òåîðåòè÷ñêèõ ñîîáðàæåíèé êàê àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, èëè
    âçÿòà êàê ãèñòîãðàììà, äîïîëíåííàÿ äî ïîëíîé ôóíêöèè, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ
    èíòåðïîëÿöèè. Äàëåå, ïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñòâîì, ïîñòðîåííûì íà áàçå ýòîé
    ðåàëüíîé ìîäåëè, áóäåò ñëåäóþùåå:

                                   Ok (x)u(Pn (x)),                            (1)


                                       21

Страницы