Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y(x), x ∈ [x
1
, x
2
]
y(x) = m(x) + e(x),
e(x) x
(P (e(x) < t(x)))
x
ˆ
Ee(x
j
) = 0,
ˆ
V e(x
j
) = v(x
j
),
ˆ
E(e(x
j
)e(x
i
)) = c
ij
= 0 i 6= j
c(x
i
, x
j
) = 0
ˆ
V y(x) =
ˆ
V m(x) +
ˆ
V e(x) = v(x). v(x)
x
y(x)
δt
δt
y(x)
y(x)
y(x) + 1
m(x)
m(x)
m(x)
m(x) P
m(x)
m(x)− > m(x, P ) P n
       ËÅÊÖÈß 5. ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÐÅÃÐÅÑÑÈÉ.
                    ËÈÍÅÉÍÛÉ ÑËÓ×ÀÉ.

   Â ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôèçèêå íèçêèõ ýíåðãèé íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ôîðìîé
äàííûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ y(x),     x ∈ [x1 , x2 ], ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ êîòîðîé
ñëóæèò ðåãðåññèÿ, èñïîëüçóåìàÿ íåñêîëüêî â èíîì, íåæåëè êëàññè÷åñêèé, êîíòåêñòå,
à èìåííî:
                              y(x) = m(x) + e(x),
ãäå e(x) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà äëÿ êàæäîãî x è îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñåìåéñòâà
ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (P (e(x) < t(x))); ýòî ìîæåò áûòü è îäíà ôóíêöèÿ
(ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü îäíîãî òèïà), íî èìåþùàÿ ðàçíûå öåíòðàëüíûå
ìîìåíòû â ðàçíûõ òî÷êàõ x.
 âàæíåéøèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ èìååò ìåñòî

           Êe(xj ) = 0, V̂ e(xj ) = v(xj ),   Ê(e(xj )e(xi )) = cij = 0 ïðè i 6= j

 ÷àñòíîñòè, ìîæåò èìåòü ìåñòî (è ÷àñòî èìååò) c(xi , xj ) = 0.
Âèäíî, ÷òî V̂ y(x) = V̂ m(x) + V̂ e(x) = v(x). Èíà÷å v(x) = êâàäðàò îøèáêè ðåãðåññèè.
Àðãóìåíò x ýòî â îáùåì ñëó÷àå âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà.
Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ìåæäó ðåãðåññèåé è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé - ýòî íå îäíî è òî
æå. Ðàçíèöà â îïðåäåëåííîì ñìûñëå òà æå, ÷òî â àíàëèçå ìåæäó ïåðåìåííîé è
ôóíêöèåé.
Òèïè÷íûì ïðèìåðîì òàêèõ ðåãðåññèé ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûé ñïåêòð - ãàììà-
ñïåêòð, íåéòðîííûé èëè íåéòðîííî-äèôðàêöèîííûé è ò.ä.
Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå y(x) ïîëó÷àåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ëèáî
ñóììèðîâàíèåì (îñóùåñòâëÿåìîì ëèáî àïïàðàòíî, ëèáî ìàòåìàòè÷åñêè) îòäåëüíûõ
ñèãíàëîâ - ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ëèáî îöèôðîâêîé íåêîòîðûõ íåïðåðûâíûõ êðèâûõ.
Âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé, ïîëó÷àåìûõ ñóììèðîâàíèåì,
- ýòî ñëó÷àé ñóììèðîâàíèÿ ò.í. ðåäêèõ ñîáûòèé, ò.å. òàêèõ, ÷òî âåðîÿòíîñòü
ðåãèñòðàöèè çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè δt äâóõ è áîëåå ñèãíàëîâ ÿâëÿåòñÿ
áåñêîíå÷íî-ìàëîé âåëè÷èíîé ïî ñðàâíåíèþ ñ δt. Ñóììû òàêèõ ñèãíàëîâ ðàñïðåäåëåíû
ïðèáëèæåííî ïî Ïóàññîíó. Ýòî äàåò íàì âîçìîæíîñòü õîòÿ áû ïðèáëèæåííî îöåíèòü
äèñïåðñèþ y(x), à èìåííî, êàê ìû âèäåëè âûøå, îöåíêîé äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííîé ïî Ïóàññîíó, ñëóæèò ñàìî y(x) (MLE-îöåíêà), èëè
y(x) + 1 (BE-îöåíêà).
Ôóíêöèÿ m(x) ÿâëÿåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé ñîñòàâëÿþùåé ðåãðåññèè è ñîáñòâåííî
ñîäåðæèò èíòåðåñóþùóþ ôèçèêà èíôîðìàöèþ, ïðàâäà, êàê ïðàâèëî, â íåÿâíîì
âèäå, ò.å. äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî åå èñïîëüçîâàíèÿ òðåáóòñÿ èçâëå÷åíèå åå èç m(x).
Òàêîå èçâëå÷åíèå ñîïðîâîæäàåòñÿ êàê ïðàâèëî êîìïðåññèåé ýòîé èíôîðìàöèè,
ò.å. ïðåîáðàçîâàíèåì åå ê íàáîðó âåëè÷èí, ñóùåñòâåííî ìåíüøåìó, ÷åì ìíîæåñòâî
çíà÷åíèé m(x).
Íàèáîëåå óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ðåäóêöèè ðåãðåññèè - ýòî ïàðàìåòðèçàöèÿ ìîäåëè
m(x), ò.å. ââåäåíèå â íåå ïàðàìåòðîâ P òàê, ÷òîáû îíè îäíîçíà÷íî áûëè ñâÿçàíû
ñ ýòîé ôóíêöèåé, è â òî æå âðåìÿ ñîäåðæàëè â ñåáå â êîìïàêòíîé ôîðìå òó
ôèçè÷åñêóþ èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ â ðàñïðåäåëåííîì âèäå çàêëþ÷åíà â m(x):
m(x)− > m(x, P ), ãäå P (â îáùåì ñëó÷àå âåêòîð ðàçìåðíîñòè n) è åñòü èñêîìûé
ïàðàìåòð.

                                               19

Страницы