Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y(x
j
) j = 1, ..., m f(x, P )
P n d(x)
P
S(P )
2
=
m
X
j=1
w(x
j
)(y(x
j
) − f(x
j
, P ))
2
, w(x) =
1
d(x)
.
f(x, P ) n
∂S(P )
2
∂p
i
= 0, i = 1, ..., n
X
x
w(x)(y(x) − f(x, P ))
∂f
∂p
i
= 0
f(x, P ) =
P
n
i=1
p
i
g
i
(x)
X
x
w(x)g
i
(x)
n
X
k=1
g
k
(x)p
k
=
X
x
w(x)y(x)g
i
(x)
AP = B,
a
ik
=
X
x
w(x)g
i
(x)g
k
(x)p
k
, b
i
=
X
x
w(x)y(x)g
i
(x)
A a
ii
p
i
= b
i
p
ii
=
b
i
a
ii
a
ii
6= 0
P = A
−1
B A
ˆ
P P
f(x, P ) d(x)
ˆ
E
ˆ
P = P
ýòèõ îöåíîê. Îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèé òîæå ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíìè âåëè÷èíàìè,
è, ñëåäîâàòåëüíî, èìåþò ñâîè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, öåíòðàëüíûå 1-å, 2-å, è ò.ä.
ìîìåíòû. Åñëè òàêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíà, òî ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî
âû÷èñëèòü ñðåäíèå è äèñïåðñèè îöåíîê, è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü êà÷åñòâî ýòèõ
îöåíîê.
Êàê è â ñëó÷àå îöåíîê ïàðàìåòðîâ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,
åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îöåíîê ïàðàìåòðîâ
ñîâïàäàëî ñ èõ èñòèííûì çíà÷åíèåì, ò.å. ÷òîáû îöåíêè áûëè íåñìåùåííûìè; è
êîíå÷íî, ÷òîáû äèñïåðñèè ýòèõ îöåíîê áûëè êàê ìîæíî ìåíüøå.
Ñàìûì èçâåñòíûì è ïîïóëÿðíûì ìåòîäîì ïîëó÷åíèÿ òàêèõ îöåíîê ÿâëÿåòñÿ ìåòîä
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, êðàòêî ÌÍÊ, èëè LSE. Ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå
åãî ñóùåñòâóåò ëèøü â ëèíåéíîì ñëó÷àå, ò.å. äëÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìîäåëåé
ðåãðåññèé îò ïàðàìåòðîâ, ïîýòîìó, èçëîæåíèå äàííîãî ìåòîäà ìû íà÷íåì ñ ëèíåéíîãî
ñëó÷àÿ.
Èòàê çàäàíà ðåãðåññèÿ y(xj ), j = 1, ..., m, åå ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü f (x, P ), ãäå
P - n-ìåðíûé âåêòîð, è äèñïåðñèÿ d(x). Îöåíêè ÌÍÊ ýòî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ,
ìèíèìèçèðóþùèå ïî P âûðàæåíèå
                           m
                           X
               S(P )2 =          w(xj )(y(xj ) − f (xj , P ))2 ,       ãäå w(x) =    1
                                                                                    d(x)
                                                                                         .   (3)
                           j=1


Åñëè ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ãëàäêèå (äèôôåðåíöèðóåìûå) ïî ïàðàìåòðàì ôóíêöèè
f (x, P ), òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ýòèõ çíà÷åíèé íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó n ñëåäóþùèõ
óðàâíåíèé (ÌÍÊ-óðàâíåíèé)

                                      ∂S(P )2
                                              = 0, i = 1, ..., n
                                        ∂pi
èëè
                                 X                               ∂f
                                      w(x)(y(x) − f (x, P ))         =0
                                  x                              ∂pi
                                        Pn
Äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè f (x, P ) =           i=1   pi gi (x) ýòè óðàâíåìèÿ èìåþò âèä
                      X                   n
                                          X                  X
                           w(x)gi (x)           gk (x)pk =       w(x)y(x)gi (x)
                       x                  k=1                x

èëè â ìàòðè÷íîé çàïèñè AP = B, ãäå ýëåìåíòû ìàòðèöû è âåêòîðà
                           X                                     X
                  aik =        w(x)gi (x)gk (x)pk ,      bi =          w(x)y(x)gi (x)
                           x                                       x


Åñëè Aäèàãîíàëüíàÿ, òî aii pi = bi è pii = abiii ïðè óñëîâèè ÷òî aii 6= 0.  îáùåì ñëó÷àå
P = A−1 B , ïðè óñëîâèè, ÷òî A èìååò îáðàòíóþ.
Áóäåì îáîçíà÷àòü îöåíêè ïàðàìåòðîâ P̂ , à èñòèííûå çíà÷åíèÿ P . Ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå òåîðåìû, äàþùèå ïðåäñòàâëåíèå î ñâîéñòâàõ è êà÷åñòâå ÌÍÊ-îöåíîê.

  1. Åñëè ìîäåëü f (x, P ) è äèñïåðñèÿ d(x) âåðíû, òî îöåíêè ïàðàìåòðîâ íåñìåùåíû.
     Ýòî îçíà÷àåò
                                         Ê P̂ = P

                                                    23

Страницы