Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P
S(P )
2
=
m
X
j=1
w(x
j
)(y(x
j
) − f(x
j
, P ))
2
∂S
2
∂p
i
=
m
X
j=1
w(x
j
)(y(x
j
) − f(x
j
, P ))
∂f
∂p
i
= 0,
P
0
f
f(x, P ) ∼ f(x, P
0
) +
n
X
i=1
∂f(x, P
0
)
∂p
i
∆p
i
B = A∆P,
B =
m
X
j=1
w(x
j
)(y(x
j
) − f
0
)
∂f
0
∂p
i
, A =
m
X
j=1
w(x
j
)
∂f
0
∂p
i
∂f
0
∂p
j
,
∆P ∆p
i
f
0
= f(x
j
, P
0
)
∆P = A
−1
B
P
P
1
= P
0
+ ∆P.
P
2
P
k+1
= P
k
+ A(k)
−1
B(k),
k A(k) B(k) A B P = P
k
P
x
        ËÅÊÖÈß 6. ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÐÅÃÐÅÑÑÈÉ.
                    ÍÅËÈÍÅÉÍÛÉ ÑËÓ×ÀÉ.

   Êàê áûëî ñêàçàíî ðàíåå, íàèáîëåå èíòåðåñíûì è âàæíûì äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ
öåëåé ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé íåëèíåéíîé ïàðàìåòðèçàöèè ðåãðåññèé. Íåëèíåéíàÿ LS-
îöåíêà ïàðàìåòðîâ íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïî P âûðàæåíèÿ
                                        m
                                        X
                                   2
                             S(P ) =          w(xj )(y(xj ) − f (xj , P ))2                    (4)
                                        j=1

ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî â ëèíåéíîì ñëó÷àå. Íî ñèñòåìà óðàâíåíèé
äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ áóäåò íåëèíåéíîé
                                m
                         ∂S 2 X                                 ∂f
                             =     w(xj )(y(xj ) − f (xj , P ))     = 0,                       (5)
                         ∂pi   j=1                              ∂pi

è ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óæå íå áóäåò ñòîëü ïðîñòûì êàê â ëèíåéíîì ñëó÷àå. Çäåñü
èñïîëüçóåòñÿ ïðèåì ëèíåàðèçàöèè, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ñëåäóþùðì.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èçâåñòíû ãðóáî ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ P0 .
Ýòè çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü èçâåñòíû èç ðàçëè÷íûõ, â ÷àñòíîñòè, òåîðåòè÷åñêèõ,
ñîîáðàæåíèé, èëè ïîëó÷åíû ôîðìàëüíûìè ìåòîäàìè, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû
ïîçæå. Âîñïîëüçîâàâøèñü ãëàäêîñòüþ ôóíêöèé f , ìû ìîæåì çàïèñàòü òàêîå
ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå
                                                         n
                                                         X ∂f (x, P0 )
                             f (x, P ) ∼ f (x, P0 ) +                      ∆pi
                                                         i=1    ∂pi

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè åãî â óðàâíåíèå (5) îíî â ìàòðè÷íîé çàïèñè ïðèìåò ñëåäóþùèé
âèä:
                                   B = A∆P,
ãäå
                       m
                       X                                            m
                                                                    X
                                                    ∂f0                            ∂f0 ∂f0
                  B=         w(xj )(y(xj ) − f0 )       ,      A=         w(xj )           ,
                       j=1                          ∂pi             j=1            ∂pi ∂pj
∆P - âåêòîð ∆pi , à f0 = f (xj , P0 ).
Îòñþäà èìååì
                                              ∆P = A−1 B
À èç íåãî ìû ìîæåì ïîëó÷èòü óòî÷íåííîå çíà÷åíèå âåêòîðà P :

                                          P1 = P0 + ∆P.

Åãî ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå íîâîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ, è ïîëó÷èòü
íîâîå óòî÷íåííîå çíà÷åíèå âåêòîðà ïàðàìåòðîâ P2 è ò.ä. Äðóãèìè ñëîâàìè ìû èìååì
èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
                             Pk+1 = Pk + A(k)−1 B(k),
ãäå k - íîìåð èòåðàöèè, à A(k) è B(k) - ìàòðèöû A è B , ñîñ÷èòàííûå ïðè P = Pk .
Åñëè èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñõîäèòñÿ, ìû ïîëó÷àåì ðåøåíèå Px . Ê ñîæàëåíèþ,
ñâîéñòâà ëèíåéíûõ ÌÍÊ-îöåíîê íå ïåðåíîñÿòñÿ àâòîìàòè÷åñêè íà íåëèíåéíûå

                                                    25

Страницы