Математическая обработка экспериментальных данных нейтронного рассеяния в физике низких энергий. Злоказов В.Б. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x
i
) = 1, 1, 1, 1, ..., 1, 101, 1, ..., 1, n = 100
c(x) = C
x = 1, 2, ..., 100 c(x)
f(x) c(x) =
P
n
i=1
f
i
n
= 2
f(x)
ρ
ρ(f, c) =
n
X
i=1
|f(x
i
) − c(x
i
)|,
c(x) = 1
f(x) = 101.
w(x)
       ËÅÊÖÈß 7. ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÐÅÃÐÅÑÑÈÉ.
                    ÐÎÁÀÑÒÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ.
   ÌÍÊ-îöåíêè ïðè âñåõ èõ äîñòîèíñòâàõ îáëàäàþò îäíèì ñóùåñòâåííûì
íåäîñòàòêîì - íåóñòîé÷èâîñòüþ ê ãðóáûì íåàäåêâàòíîñòÿì äàííûõ è ìîäåëè.
Îñîáåííî ýòèì ñòðàäàþò íåëèíåéíûå ÌÍÊ-îöåíêè. Ýòà íåóñòîé÷èâîñòü èìååò
ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð: îíà åñòü ñëåäñòâèå ïîâûøåííîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
èíòåãðàëüíîé êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêè ê ðåçêî íåîäíîðîäíûì ðàçíîñòÿì çíà÷åíèé
ôóíêöèé, âçàèìíîå ðàññòîÿíèå êîòîðûõ ýòà ìåòðèêà îöåíèâàåò: ñóììà êâàäðàòîâ
ðàçíîñòåé äâóõ ôóíêöèé áóäåò ìèíèìàëüíîé ïðè áîëåå èëè ìåíåå îäèíàêîâûõ
çíà÷åíèÿõ ýòèõ ðàçíîñòåé. Åñëè æå â êàêîé-ëèáî òî÷êå ðàçíîñòü äâóõ ôóíêöèé
áóäåò èìåòü áîëüøîå çíà÷åíèå, òî ïðè ñáëèæåíèè ýòèõ ôóíêöèé ñáëèæàþùàÿ
ïðîöåäóðà áóäåò ñòðåìèòüñÿ óìåíüøèòü èìåííî ýòó ðàçíîñòü äàæå åñëè ýòî ïðèâåäåò
ê óâåëè÷åíèþ äðóãèõ ðàçíîñòåé.
Ðàññìîòðèì òàêîé ïðèìåð:
                     f (xi ) = 1, 1, 1, 1, ..., 1, 101, 1, ..., 1,      n = 100
Ïóñòü ìû õîòèì ïîäîáðàòü ïðèáëèæàþùóþ åå ôóíêöèþ-êîíñòàíòó c(x) = C ïðè
x = 1, 2, ..., 100. Åñëè ìû áóäåì îöåíèâàòü
                                      P     áëèçîñòü â êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêå, òî c(x)
                                             n
                                                  fi
áóäåò áëèæàéøåé ê f (x) ïðè c(x) = i=1
                                     n
                                         = 2; ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ èñõîäíîé
ôóíêöèè f (x) áóäåò ïðåâîñõîäèòü 100% â êàæäîé òî÷êå êðîìå îäíîé.
Íî åñëè îöåíèâàòü áëèçîñòü â ìîäóëüíîé ìåòðèêå ρ, ò.å. êàê
                                            n
                                            X
                                ρ(f, c) =         |f (xi ) − c(xi )|,
                                            i=1

òî áëèæàéøåé ôóíêöèåé áóäåò, êàê ëåãêî âèäåòü, c(x) = 1; ò.å. ïîãðåøíîñòü
ïðèáëèæåíèÿ áóäåò ðàâíà 0 âî âñåõ òî÷êàõ êðîìå îäíîé, ãäå f (x) = 101. Ýòà òî÷êà
âïðî÷åì ïðîèçâîäèò âïå÷àòëåíèå ãðóáîé îøèáêè (âûáðîñà), ñëó÷àéíî ïîïàâøåé
â äàííûå, è òàêèì îáðàçîì, ïðèáëèæåíèå â ìîäóëüíîé ìåòðèêå ïðîèãíîðèðîâàëî
ýòó îøèáêó, òîãäà êàê ïðèáëèæåíèå â êâàäðàòè÷íîé ìåòðèêå èñïûòàëî åå ïàãóáíîå
âëèÿíèå.
Òàêîå ñâîéñòâî - èãíîðèðîâàòü ïðèñóòñòâèå ãðóáûõ îøèáîê (èëè, ïî êðàéíåé ìåðå,
ñëàáî çàâèñåòü îò íèõ) íàçûâàåòñÿ ðîáàñòíîñòüþ (îò àíãëèéñêîãî robust).
Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ÌÍÊ- è ðîáàñòíîé îöåíêàìè õîðîøî èëëþñòðèðóåò ñðàâíåíèå
àðèôìåòè÷åñêîãî ñðåäíåãî è ìåäèàíû íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ÷èñåë. Åñëè ÷èñëà
áîëåå-ìåíåå ðàâíîìåðíû, ñðåäíåå è ìåäèàíà ñîâïàäàþò (òî÷íî èëè ïðèáëèæåííî).
Íî äëÿ ñèëüíî ðàçíîðîäíûõ ÷èñåë îáå âåëè÷èíû áóäóò îòëè÷àòüñÿ. Ìåäèàíà òÿãîòååò
ê "áîëüøèíñòâó"÷èñåë, ñðåäíåå èùåò íåêèé êîìïðîìèññ ìåæäó ÷èñëàìè.
Èòàê, ïîäãîíêà â ìîäóëüíîé ìåòðèêå äàñò ðîáàñòíûå îöåíêè. Ê ñîæàëåíèþ,
ïðåâîñõîäÿ ÌÍÊ-îöåíêè â îòíîøåíèè óñòîé÷èâîñòè ê íåàäåêâàòíîñòÿì ìîäåëåé
ðåãðåññèÿì, ðîáàñòíûå îöåíêè íå îáëàäàþò èõ ýôôåêòèâíîñòüþ - îíè íå îáëàäàþò
ñâîéñòâîì íåñìåùåííîñòè è äèñïåðñèè èõ (â ñëó÷àå "íîðìàëüíûõ"äàííûõ) áóäóò
áîëüøå, ÷åì ó ÌÍÊ-îöåíîê. Äðóãèìè ñëîâàìè, èñïîëüçîâàíèå ðîáàñòíûõ îöåíîê
îïðàâäàíî òîëüêî â ñëó÷àÿõ, êîãäà ÌÍÊ-îöåíêè çàâåäîìî èìåþò ïëîõîå êà÷åñòâî.

   Äðóãîé ïîäõîä â ïîñòðîåíèè ðîáàñòíûõ îöåíîê ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè
àäàïòèâíûõ âåñîâ w(x), à èìåííî âêëþ÷åíèå â íèõ ýëåìåíòîâ, ïîçâîëÿþùèõ

                                                  27

Страницы