Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 35 стр.

     Исключим из рассматриваемого набора данный вектор x s и включим
в него векторы y1 , y 2 . Вектор x будет выпуклой комбинацией этого нового
набора. Из (29) следует, что для нового набора также будут выполняться
условия (28).
     Поскольку у обоих векторов y1 и y 2 наборы активных ограничений
шире, чем у замененного ими вектора x s , то после конечного числа таких
замен придем к тому, что все векторы x s из набора будут решениями с
максимальными наборами активных ограничений.
     Теорема 1 доказана.
     Задание 10. Доказать, что множество решений системы линейных
неравенств полного ранга будет ограниченным в том и только том
случае, если оно не имеет ненулевых рецессивных направлений.
     Пример 3. На рис. 4 в виде заштрихованной области представлено
множество решений системы линейных неравенств
                                 x1 + x2 ≤ 1,
                                                                      (31)
                                 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
                           x2



                       e2


                                                       x1
                        0           e1
Рис. 4. Множество решений системы неравенств (31) является выпуклой
оболочкой векторов e1, e2 ,0.

В данном случае множество решений ограничено. Согласно теореме 1 оно
должно быть политопом. Действительно, это множество является
выпуклой оболочкой орт e1, e2 и начала координат 0. Векторы e1, e 2 ,0 для
данной системы являются решениями с максимальными наборами
активных ограничений.




                                    35