Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 37 стр.

невозможно, поскольку
                           rang A = n.
     Итак, установлено, что у системы (32), (33) нет рецессивных
направлений. Поэтому для нее можно использовать факты, установленные
в теореме 1.
     Пусть v l , l = 0,1,K, k – все решения системы (32), (33) с
максимальными наборами активных ограничений. В этот же набор
обязательно входит тривиальное решение со всеми нулевыми
компонентами. Считаем, что таковым является вектор v 0 , т.е v 0 = 0. Для
этого решения
                           Av 0 = 0,
                              a% m+1 , v 0 > −1.
Для остальных векторов набора
                         a% m+1 , v l = −1, l = 1,K, k .
    По теореме (1) любое решение системы (32), (33) является выпуклой
комбинацией векторов v l
                         V = Co{v l , l = 0,1, K, k}.
    Если исключим вектор v 0 , то получим множество решений с
максимальными наборами активных ограничений следующей системы
линейных неравенств
                         Ax ≥ 0,                                 (35)
                          a% m+1 , x = −1.                       (36)
В отличие от систем (32), (33) здесь последнее условие записано в виде
равенства. Множество решений системы (35), (36) обозначим V% .
Справедливо соотношение
                         V% ⊆ V ⊆ W .
    Лемма 6. Пусть система линейных неравенств (1) имеет
максимальный ранг. Тогда множество решений порождаемой ею
однородной системы линейных неравенств является конечным
многогранным конусом, образующими которого являются решения
системы (35), (36) с максимальными наборами активных ограничений,
векторы vl , l =1,K, k .
    Доказательство. Из определения v l и теоремы 1 следует, что
                         Co{v l , l = 1,K, k} = V% .
Вектор v 0 не принадлежит V% . Из определения V и W следует, что при
любом λ ≥ 0
                             λV% ⊆ W .



                                           37