Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

36
2.4 Структура множества решений системы линейных неравенств
максимального ранга
По-прежнему считаем, что ранг системы (1) равен числу переменных.
При этом не исключаем возможность наличия рецессивных ненулевых
направлений.
Рассмотрим систему линейных неравенств
0,
A
x ≥ (32)
1
,1,
m
ax
+
≥−
%
(33)
где
1
1
.
m
mi
i
aa
+
=
=−
∑
%%
Множество решений системы (32), (33) обозначим ,т.е.V
{
}
1
:,1.
m
VxWax
+
=
∈≥−
%
Размерность системы (32), (33) совпадает с размерностью линейного
подпространства
11 1
{:,}.
Tmm mm
SxAuua uRu R
++ +
== + ∈ ∈
%
%
Из определения (2) пространства S
⊥
следует, что .SS
⊥
⊆
%
Следовательно,
размерность S
%
не может быть меньше размерности пространства S
⊥
.
Поскольку размерность S
⊥
в данном параграфе считается максимально
возможной, то и S
%
будет иметь максимально возможную размерность,
равную .n Поэтому (32), (33) – система линейных неравенств
максимального ранга.
Убедимся, что порождаемая системой (32), (33) однородная система
линейных неравенств
0,
A
x ≥
1
,0
m
ax
+
≥
%
(34)
имеет только тривиальное решение 0.
x
=
Действительно, если при каком-либо
n
R
∈
,0,1,,
i
ax i m≥=
%
K
и при этом для некоторого i
,0,
i
ax>
%
то
1
1
,,0,
m
im
i
ax a x
+
=
=
−>
∑
%%
т.е. данный вектор
x
не будет удовлетворять условию (34). Выполнение
при 0
x
≠ всех равенств
,0,1,,
i
ax i m==
%
K
      2.4 Структура множества решений системы линейных неравенств
                        максимального ранга

    По-прежнему считаем, что ранг системы (1) равен числу переменных.
При этом не исключаем возможность наличия рецессивных ненулевых
направлений.
    Рассмотрим систему линейных неравенств
                        Ax ≥ 0,                                  (32)
                         a% m+1 , x ≥ −1,                        (33)
где
                                         m
                            a% m+1 = −∑ a% i .
                                         i =1
Множество решений системы (32), (33) обозначим V , т.е.
                                     {
                                 V = x ∈W : a% m+1 , x ≥ −1 .     }
    Размерность системы (32), (33) совпадает с размерностью линейного
подпространства
                    S% = {x = AT u + u m+1a% m+1 : u ∈ R m , u m+1 ∈ R}.
Из определения (2) пространства S ⊥ следует, что S ⊥ ⊆ S%. Следовательно,
размерность S% не может быть меньше размерности пространства S ⊥ .
Поскольку размерность S ⊥ в данном параграфе считается максимально
возможной, то и S% будет иметь максимально возможную размерность,
равную n. Поэтому (32), (33) – система линейных неравенств
максимального ранга.
    Убедимся, что порождаемая системой (32), (33) однородная система
линейных неравенств
                          Ax ≥ 0,
                           a% m+1 , x ≥ 0                                (34)
имеет только тривиальное решение x = 0.
    Действительно, если при каком-либо x ∈ R n
                         a% i , x ≥ 0, i = 1,K, m
и при этом для некоторого i
                          a% i , x > 0,
то
                             m

                            ∑
                            i =1
                                   a% i , x = − a% m+1 , x > 0,

т.е. данный вектор x не будет удовлетворять условию (34). Выполнение
при x ≠ 0 всех равенств
                         a% i , x = 0, i = 1,K, m


                                                36

Страницы