Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

54
Равенство 0
ϕ
=
выполняется в том и только том случае, если в
множестве
S
имеется вектор, удовлетворяющий (19), который и будет
решением
x
.
Осталось доказать утверждение теоремы для случая
0>
ϕ
. Обозначим
K
множество номеров
j
компонент вектора
x
, не равных k , для которых
0<
j
x . Согласно теореме 1,
(), 0.xx
ϕ
∇
=
Это означает, что
∑
∈
=−+
Kj
kkj
xxx 0)1()(
2
.
Если ∅=
K
, то 0=
k
x
(случай 1
k
x
=
противоречит условию 0
ϕ
> ).
Если
≠∅, то величина (1)
kk
xx
−
должна быть отрицательной. Поэтому
10
k
x>>. Итак, в обоих случаях 10
k
x
−
> . Так как
() 1
k
k
xx
ϕ
∇
=−
и
() 0
j
x
ϕ
∇≤ для всех
j
k≠ , то вектор
1
()
1
k
yx
x
ϕ
=∇
−
будет удовлетворять условиям (19) и при этом будет находиться в S
⊥
, так
как согласно теореме 2 в
⊥
S
находится вектор ()
x
ϕ
∇ .
Теорема 4 доказана.
Теорема 4a. Пусть S, S
⊥
– ортогональные линейные
подпространства в
n
R
. Для любого {1,..., }kn
∈
в одном и только одном
линейном подпространстве S или S
⊥
имеется вектор х такой, что
0
k
x >
, 0
x
≥ .
Задание 5. Доказать на основе теоремы 4 теорему 4а.
Приведем еще одну формулировку теоремы об альтернативных
линейных неравенствах в геометрическом виде.
Теорема 5. Существуют векторы
x
S
+
∈
, yS
⊥
+
∈ такие, что
0, 1, ,
jj
x
yj n
+
>=K . (21)
Доказательство. Обозначим
k
x
– вектор, удовлетворяющий условиям
(19) для данного 1,2,...,kn= . Вектор
k
x
, согласно теореме 4, находится
либо в
S
, либо в
⊥
S
.
Множество номеров 1, 2,...,kn= разобьем на два подмножества. Пусть
)(
+
SJ
состоит из номеров k, при которых
S
x
k
∈
. Множество )(
⊥
+
SJ
состоит из номеров k, при которых
⊥
∈
S
x
k
. Векторы 
      Равенство ϕ = 0 выполняется в том и только том случае, если в
множестве S имеется вектор, удовлетворяющий (19), который и будет
решением x .
      Осталось доказать утверждение теоремы для случая ϕ > 0 . Обозначим
K множество номеров j компонент вектора x , не равных k , для которых
x j < 0 . Согласно теореме 1,
                                ∇ϕ ( x ), x = 0.
Это означает, что
                               ∑(x )
                                j∈K
                                      j
                                          2
                                              + xk ( xk − 1) = 0 .

    Если K = ∅ , то x k = 0 (случай x k = 1 противоречит условию ϕ > 0 ).
Если K ≠ ∅ , то величина xk ( xk − 1) должна быть отрицательной. Поэтому
1 > x k > 0 . Итак, в обоих случаях 1 − x k > 0 . Так как ∇ kϕ ( x) = x k − 1 и
∇ jϕ ( x) ≤ 0 для всех j ≠ k , то вектор
                                        1
                               y=            ∇ϕ ( x )
                                      xk − 1
будет удовлетворять условиям (19) и при этом будет находиться в S ⊥ , так
как согласно теореме 2 в S ⊥ находится вектор ∇ϕ ( x) .
     Теорема 4 доказана.
     Теорема 4a. Пусть S , S ⊥ – ортогональные линейные
подпространства в R n . Для любого k ∈{1,..., n} в одном и только одном
линейном подпространстве S или S ⊥ имеется вектор х такой, что
                               xk > 0 , x ≥ 0 .
    Задание 5. Доказать на основе теоремы 4 теорему 4а.
    Приведем еще одну формулировку теоремы об альтернативных
линейных неравенствах в геометрическом виде.
    Теорема 5. Существуют векторы x ∈ S+ , y ∈ S+⊥ такие, что
                               x j + y j > 0, j = 1,K, n .                (21)
        Доказательство. Обозначим x k – вектор, удовлетворяющий условиям
(19) для данного k = 1,2,..., n . Вектор x k , согласно теореме 4, находится
либо в S , либо в S ⊥ .
        Множество номеров k = 1,2,..., n разобьем на два подмножества. Пусть
 J ( S + ) состоит из номеров k, при которых x k ∈ S . Множество J ( S +⊥ )
состоит из номеров k, при которых x k ∈ S ⊥ . Векторы

                                              54

Страницы