Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

55
∑
+
∈
=
)( SJk
k
xx ,
∑
⊥
+
∈
=
)(SJk
k
xy
будут обладать свойством (21).
Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Пусть S, S
⊥
– ортогональные линейные
подпространства в
n
R
. Тогда либо существует вектор
x
S∈ такой, что
0, 0
x
x≥≠,
либо существует вектор yS
⊥
∈ такой, что
0y > .
Задание 6. Доказать теорему 6.
3.3 Теоремы об альтернативных однородных системах линейных
неравенств
Используя алгебраический способ задания ортогональных
подпространств, рассмотренный в главе 1, из приведенных выше теорем
получаем целое семейство теорем об альтернативах в алгебраическом
виде.
Теорема 5 при описании подпространств в виде
{:}
Tm
SsAuuR== ∈ ,
{:0}
n
SxRAx
⊥
=∈ =,
приобретает следующий вид.
Теорема 7. Для любой матрицы A размерности mn× существуют
векторы
n
R
∈ ,
m
R
u
∈
такие, что
0,0 ≥= xxA, (22)
0≥
Τ
u
A
, (23)
0)( >+
Τ
uAx. (24)
Здесь последнее неравенство означает, что все компоненты вектора в
круглых скобках положительные, т.е.
( ) 0, 1,...,
j
j
x
Au j n
Τ
+>=.
На основе теоремы 7 можно доказать приводимые ниже три теоремы.
Теорема 8 (Гордана). Либо существует вектор
n
x
R
∈
такой, что
0, 0, 0
A
xxx
=
≥≠, (25)
либо существует вектор
m
uR∈ такой, что
0>
Τ
u
A
. (26) 
                             x=     ∑x          k
                                                    , y=    ∑x              k

                                  k∈J ( S + )              k∈J   ( S +⊥ )


будут обладать свойством (21).
    Теорема 5 доказана.
    Теорема 6. Пусть           S, S⊥   – ортогональные линейные
                     n
подпространства в R . Тогда либо существует вектор x ∈ S такой, что
                             x ≥ 0, x ≠ 0 ,
либо существует вектор y ∈ S ⊥ такой, что
                             y > 0.
    Задание 6. Доказать теорему 6.
   3.3 Теоремы об альтернативных однородных системах линейных
                            неравенств
    Используя алгебраический способ                    задания ортогональных
подпространств, рассмотренный в главе 1, из приведенных выше теорем
получаем целое семейство теорем об альтернативах в алгебраическом
виде.
    Теорема 5 при описании подпространств в виде
                           S = {s = AT u : u ∈ R m } ,
                           S ⊥ = {x ∈ R n : Ax = 0} ,
приобретает следующий вид.
    Теорема 7. Для любой матрицы A размерности m × n существуют
векторы x ∈ R n , u ∈ R m такие, что
                             A x = 0, x ≥ 0 ,                                   (22)
                             AΤ u ≥ 0 ,                                         (23)
                            ( x + AΤ u ) > 0 .                                  (24)
    Здесь последнее неравенство означает, что все компоненты вектора в
круглых скобках положительные, т.е.
                             x j + ( AΤu ) j > 0, j = 1,..., n .
    На основе теоремы 7 можно доказать приводимые ниже три теоремы.
    Теорема 8 (Гордана). Либо существует вектор x ∈ R n такой, что
                             Ax = 0, x ≥ 0, x ≠ 0 ,                             (25)

либо существует вектор u ∈ R m такой, что
                             AΤu > 0 .                                          (26)


                                                55

Страницы