Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 57 стр.

переменных u2 или (и) нет матрицы A3 (если m3 = 0 ) и вектора
переменных u3 .
     В качестве пояснения к теореме 11 заметим, что в случае m2 = m3 = 0
эта теореме переходит в теорему 8, если в теореме 8 вместо матрицы A
использовать матрицу A1Τ . При этом следует поменять местами векторы
переменных x и u .
     Задание 8. Доказать теорему Моцкина.
     Теорема 12. Либо существует вектор x ∈ R n такой, что
                           Ax ≤ 0, x > 0 ,

либо существует вектор u ∈ R m такой, что
                           AT u ≥ 0, AT u ≠ 0 , u ≥ 0 .
    Задание 9. Доказать теорему 12.

    Способы      конструирования     формулировок      теорем    об
альтернативных однородных системах линейных неравенств. В
дополнение к приведенным альтернативным системам можно
сконструировать ряд других. Для этого достаточно в любой теореме об
альтернативных однородных и строго однородных неравенствах все
неравенства у одной из двух (или у обеих) систем поменять на
противоположные. Теоремы останутся справедливыми.
    Справедливость теорем также сохранится, если заменить в
формулировках матрицы на транспонированные, а транспонированные на
исходные.
   3.4 Теоремы об альтернативных системах линейных неравенств
                           общего вида
    В данном разделе рассматриваются системы линейных неравенств
общего вида, которые в свою очередь включают как однородные, так и
неоднородные случаи. Следовательно, эти теоремы справедливы и для
однородных систем линейных неравенств.
    Формулировки и доказательства теорем об альтернативных
неоднородных неравенствах можно получить на основе теоремы 4. Из
алгебраического        способа    описаний      взаимно ортогональных
подпространств теорему 4 можно представить в следующей форме.
    Теорема 13. Пусть A – матрица размерности m × n . Для любого
k ∈{1,..., n} либо имеется вектор x ∈ R n такой что
                           Ax = 0 , x ≥ 0 , xk = 1 ,               (30)



                                    57