Системы линейных неравенств. Зоркальцев В.И - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

56
Эта теорема является наиболее ранней из известных формулировок
утверждений об альтернативных неравенствах. Она была опубликована в
1873 г.
Тот факт, что обе системы (25) и (26) не могут вместе иметь решения
следует из ортогональности ядра матрицы A и образа матрицы
Τ
A
и
условия дополняющей нежесткости (16). То, что одна из этих систем имеет
решение, следует из теоремы 7. Действительно, если система (25) не имеет
решения, то для решения системы (22) – (24) с той же матрицей
A
, в силу
(24), вектор
u будет решением системы (26).
Нетрудно заметить, что теорема Гордана является алгебраическим
аналогом приведенной в предыдущем параграфе теоремы 6.
Теорема 9 (Штимке). Либо существует вектор
n
x
R
∈
такой, что
0,
A
x ≥ 0
≠
Ax
,
либо существует вектор
m
R
u ∈ такой, что
0>u , 0
=
Τ
u
A
.
Нетрудно заметить, что теорема Штимке является симметричным
аналогом теоремы Гордана, а, по сути, все той же теоремой 6, где
исходное и ортогональное исходному подпространства заданы как область
значений матрицы
A
и множество решений однородной системы
линейных уравнений, заданной матрицей
T
.
Теорема 10 (Вилля). Либо существует вектор
n
x
R
∈
такой, что
0
≤
A
x , 0≥
x
, 0
≠
x
,
либо существует вектор
m
R
u ∈ такой, что
0,0 ≥> uuA
T
.
Задание 7. Доказать теорему Вилля.
Теорема 11 (теорема Моцкина). Для любых матриц
1
A,
2
A,
3
A
размерности
nm ×
1
,
nm ×
2
и
nm
×
3
соответственно, либо при некотором
n
x
R∈
0
1
>xA, 0
2
≥xA, 0
3
=
xA, (27)
либо
0
332211
=
+
+
ΤΤΤ
uAuAuA, (28)
0
1
≥u , 0
1
≠
u , 0
2
≥u , (29)
при некоторых
1
1
m
Ru
∈
,
2
2
m
Ru ∈ ,
3
3
m
Ru
∈
.
Здесь
1
1
≥m
,
0
2
≥m
,
0
3
≥m
, т.е. не исключается, что у систем (27) и
(28), (29) нет матрицы
2
A
(если 0
2
=
m ) и, соответственно, вектора 
     Эта теорема является наиболее ранней из известных формулировок
утверждений об альтернативных неравенствах. Она была опубликована в
1873 г.
     Тот факт, что обе системы (25) и (26) не могут вместе иметь решения
следует из ортогональности ядра матрицы A и образа матрицы A Τ и
условия дополняющей нежесткости (16). То, что одна из этих систем имеет
решение, следует из теоремы 7. Действительно, если система (25) не имеет
решения, то для решения системы (22) – (24) с той же матрицей A , в силу
(24), вектор u будет решением системы (26).
     Нетрудно заметить, что теорема Гордана является алгебраическим
аналогом приведенной в предыдущем параграфе теоремы 6.
     Теорема 9 (Штимке). Либо существует вектор x ∈ R n такой, что
                             Ax ≥ 0, Ax ≠ 0 ,
либо существует вектор u ∈ R m такой, что
                             u > 0 , AΤu = 0 .
    Нетрудно заметить, что теорема Штимке является симметричным
аналогом теоремы Гордана, а, по сути, все той же теоремой 6, где
исходное и ортогональное исходному подпространства заданы как область
значений матрицы A и множество решений однородной системы
линейных уравнений, заданной матрицей AT .
    Теорема 10 (Вилля). Либо существует вектор x ∈ R n такой, что
                              Ax ≤ 0 , x ≥ 0 , x ≠ 0 ,
либо существует вектор u ∈ R m такой, что
                             AT u > 0, u ≥ 0 .
       Задание 7. Доказать теорему Вилля.
    Теорема 11 (теорема Моцкина). Для любых матриц A1 , A2 , A3
размерности m1 × n , m2 × n и m3 × n соответственно, либо при некотором
x ∈ Rn
                             A1 x > 0 , A2 x ≥ 0 , A3 x = 0 ,            (27)
либо
                             A1Τu1 + A2Τu 2 + A3Τu3 = 0 ,                (28)
                             u1 ≥ 0 , u1 ≠ 0 , u 2 ≥ 0 ,                 (29)
при некоторых u1 ∈ R m , u 2 ∈ R m , u3 ∈ R m .
                       1        2           3



     Здесь m1 ≥ 1 , m2 ≥ 0 , m3 ≥ 0 , т.е. не исключается, что у систем (27) и
(28), (29) нет матрицы A2 (если m2 = 0 ) и, соответственно, вектора


                                       56

Страницы