ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
0e)x2(0)x(f
2
x2
=⋅+⇔=
−
≠
≠+
−
0e
0x2
2
x
2
4) Находим точки экстремума и интервалы монотонности:
=−⋅++=−⋅⋅++⋅=
′
−−−
))x2()x2(x2(e)x2(e)x2(ex2y
2xx2x
222
)x2x2(e)x2x4x2(
3x3
2
−−=−−
−
e
x
2
=
−
0)x2x2(e0y
3x
2
=−−⇔=
′
−
0)xx(2
3
=+−
0)x1(x
2
=+
0x =
Рисунок 5.5
(0 ; 2) – точка максимума;
при )- график функции возрастает; 0;(x −∞∈
при )- график функции убывает. ;0(x +∞∈
5) Находим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и
вогнутости.
)2x2x4(e
)x62x4x4(e)x62(e)x2x2(xe2y
24x
242x2x3x
2
222
−−=
=−−+=−−+−−−=
′′
−
−−−
01xx2
24
=−−⇔0y =
′′
t
x
2
=
01
t
t
2
2
=
−−
Д 9812)1(4)1(
2
=+=⋅−⋅−−=
2
1
,1
4
31
t
2,1
−=
±
=
t
x
2
=
1x1x
2
±
=
⇒=
Рисунок 5.6
21
⇒ точки пересечения с осью
+
x
-
0
max
+
-
-1
x
1
+
т.перегиба т.перегиба
2
f ( x ) = 0 ⇔ (2 + x 2 ) ⋅ e − x = 0
2 + x 2 ≠ 0
−x 2
⇒ точки пересечения с осью
e ≠ 0
4) Находим точки экстремума и интервалы монотонности:
2 2 2
y ′ = 2 x ⋅ e − x + (2 + x 2 ) ⋅ e − x ⋅ (−2 x ) = e − x (2 x + (2 + x 2 ) ⋅ (−2 x )) =
2 2
= e − x (2 x − 4 x − 2 x 3 ) = e − x (−2 x − 2 x 3 )
2
y ′ = 0 ⇔ e − x ( −2 x − 2 x 3 ) = 0
− 2( x + x 3 ) = 0
x (1 + x 2 ) = 0
x=0
+
m ax -
0 x
Рисунок 5.5
(0 ; 2) – точка максимума;
при x ∈ (−∞;0) - график функции возрастает;
при x ∈ (0;+∞) - график функции убывает.
5) Находим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и
вогнутости.
2 2 2
y ′′ = −2 xe − x (−2 x − 2x 3 ) + e − x (−2 − 6x 2 ) = e − x (4 x 2 + 4 x 4 − 2 − 6 x 2 ) =
2
= e − x (4x 4 − 2 x 2 − 2)
y ′′ = 0 ⇔ 2 x 4 − x 2 − 1 = 0
x2 = t
2t 2 − t − 1 = 0
Д = (−1) 2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 2 = 1 + 8 = 9
1± 3 1
t 1, 2 = = 1, −
4 2
2
x =t
x 2 = 1 ⇒ x = ±1
т.перегиба т.перегиба
+ - +
-1 1 x
Рисунок 5.6
21
