ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Рисунок 5.4
Задача №3
Провести полное исследование и построить график функции
2
x2
e)x2()x(f
−
⋅+= .
1
2
3
5
4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2-3-4-5
0
y
x
1) Находим область определения функции )f и исследуем ее поведение x(
в граничных точках в области определения, включая и ±∞=x
Д
f
=R ⇒ вертикальных асимптот у графика функции нет.
Найдем наклонные асимптот:
0
)x4x2x4(e
2
Lim
xe2)x21(x4e
2
Lim
)x21(e
x2
Lim
ex2xe
x2
Lim
ex
)x2(
Lim
x
e)x2(
Limk
3x
x
x2x
x
2x
x
xx
x
x
2
x
x2
x
2
222
222
2
=
++⋅
=
=
⋅++⋅
==
+
=
=
⋅⋅+
=
⋅
+
=
⋅+
=
±∞→
±∞→±∞→
±∞→±∞→
−
±∞→
0
ex2
x2
Lim
e
x2
Lime)x2(Limb
22
2
x
x
x
2
x
x2
x
=
⋅
=
+
=⋅+=
±∞→±∞→
−
±∞→
0y = - горизонтальная асимптота.
2) Выясним четность и периодичность функции:
⇒=⋅+=⋅−+=−
−−−
)x(fe)x2(e))x(2()x(f
22
x2)x(2
функция четная.
Функция не периодическая.
3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат:
)2;0(2e)02()0(f
0
⇒=⋅+= - точка пересечения с осью Oy
20
y
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
Рисунок 5.4
Задача №3
Провести полное исследование и построить график функции
2
f ( x ) = (2 + x 2 ) ⋅ e − x .
1) Находим область определения функции f ( x ) и исследуем ее поведение
в граничных точках в области определения, включая и x = ±∞
Д f =R ⇒ вертикальных асимптот у графика функции нет.
Найдем наклонные асимптот:
2
(2 + x 2 ) ⋅ e − x (2 + x 2 ) 2x
k = Lim = Lim 2
= Lim 2 =
x →±∞ x x →±∞ x x →±∞ x x2
x ⋅e e + x ⋅ 2x ⋅ e
2x 2
= Lim 2 == Lim 2 =
x →±∞ x 2 x →±∞ x 2 x2
e (1 + 2 x ) e ⋅ 4 x + (1 + 2 x ) ⋅ 2 xe
2
= Lim 2 =0
x →±∞ x 3
e ⋅ (4x + 2x + 4x )
2 −x2 2 + x2 2x
b = Lim (2 + x ) ⋅ e = Lim 2
= Lim 2
=0
x → ±∞
ex x → ±∞
x → ±∞
2x ⋅ ex
y = 0 - горизонтальная асимптота.
2) Выясним четность и периодичность функции:
2 2
f (− x ) = (2 + (− x ) 2 ) ⋅ e −( − x ) = (2 + x 2 ) ⋅ e − x = f ( x ) ⇒ функция четная.
Функция не периодическая.
3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат:
f (0) = (2 + 0) ⋅ e 0 = 2 ⇒ (0;2) - точка пересечения с осью Oy
20
