Исследование функций методами дифференциального исчисления. Зубова И.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

()
1
1x
2x
Lim
1x
xx2x2x
Lim
x
1x
2x2x
Lim)x(k)x(fLimb
x
22
x
2
xx
−=
−
+−
=
−
+
/
−+−
/
=
=
−
−
+−
=−=
±∞→±∞→
±∞→±∞→
1x
b
kxy −
=
+= - наклонная асимптота.
2) Выясним четность и периодичность функции.
)x(f
)1x(
2x2x
1x
2)x(2)x(
)x(f
2
2
≠
+−
++
=
−−
+−−−
=−
Функция не обладает свойствами четности и периодичности.
3) Находим точки пересечения графика с осями координат:
2
1
2
10
2020
f(0) −=
−
=
−
+
⋅−
=
(0 ; -2) – точка пересечения с осью O y
02x2x0
1x
2x2x
0)x(f
2
2
=+−⇔=
−
+−
⇔=
Д 48424)2(
2
−=−=⋅−−=
Д уравнение действительных корней не имеет, график функции не
пересекается с осью O
⇒< 0
x
4) Находим точки экстремума и интервалы монотонности.
2
2
2
22
2
2
)1x(
x2x
)1x(
2x2x2x2x2x2
)1x(
)2x2x()1x)(2x2(
y
−
−
=
−
−+−+−−
=
−
+−−−−
=
′
0x2x0
)1x(
x2x
0y
2
2
2
=−⇔=
−
−
⇔=
′
0)2x(x
=
−
Д ( x=0; );1()1;()y +∞∪−∞=
′
x=2.
Рисунок 5.2
2
1
2
12
244
)2(f ==
−
+−
=
18
+
+
-
-
0
1
2
max
min
                                                       x 2 − 2x + 2      
                 b = Lim (f ( x ) − k ( x ) ) = Lim                − x  =
                     x →±∞                      x →±∞
                                                           x −1          
                         x/ 2 − 2 x + 2 − x/ 2 + x        −x+2
                 = Lim                             = Lim         = −1
                   x →±∞           x −1              x →±∞ x − 1

                 y = kx + b = x − 1 - наклонная асимптота.
2)             Выясним четность и периодичность функции.
                        (− x ) 2 − 2 (− x ) + 2 x 2 + 2x + 2
             f (− x ) =                        =             ≠ f (x)
                                 − x −1           − ( x + 1)
             Функция не обладает свойствами четности и периодичности.
3)             Находим точки пересечения графика с осями координат:
                     0 − 2⋅0+ 2 2
             f(0) =             =    = −2
                         0 −1     −1
             (0 ; -2) – точка пересечения с осью Oy

                         x 2 − 2x + 2
             f (x) = 0 ⇔              = 0 ⇔ x 2 − 2x + 2 = 0
                             x −1
             Д = (−2) 2 − 4 ⋅ 2 = 4 − 8 = −4
           Д < 0 ⇒ уравнение действительных корней не имеет, график функции не
     пересекается с осью Ox
           4) Находим точки экстремума и интервалы монотонности.
                 (2 x − 2)( x − 1) − ( x 2 − 2 x + 2) 2 x 2 − 2 x − 2 x + 2 − x 2 + 2 x − 2 x 2 − 2 x
            y′ =                                     =                                     =
                              ( x − 1) 2                            ( x − 1) 2               ( x − 1) 2


                         x 2 − 2x
             y′ = 0 ⇔               2
                                        = 0 ⇔ x 2 − 2x = 0
                         ( x − 1)
                                              x ( x − 2) = 0
             Д ( y ′) = (−∞;1) ∪ (1;+∞) x=0;
                                 x=2.

                                        max                    min
                                +             -          -           +
                                          0         1          2
                                                        Рисунок 5.2
                        4−4+2 2
             f ( 2) =         = =2
                         2 −1  1
                                                                                                    18

Страницы