Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 23 стр.

                          Y


                                              π                 3π
                   −π             0                   2π                  4π
                                                                                    Х


     Разложив такую функцию в ряд Фурье, получим:
             π                π
         1         1 x2
     a0 = ∫ x dx =                 = 0.
         π −π      π 2
                              −π
                                               π
                                 1  sin kx                           
               π                                        π
           1                                         1
     a k = ∫ x cos kx dx =  x                     − ∫ sin kxdx  = 0.
           π −π                  π      k −π k −π                   
                                                 π
                                1                                       
               π                                           π
           1                             cos kx         1
     bk = ∫ x sin kx dx = − x
                                           k − π k −∫π
                                                     +       cos kxdx  =
           π −π                 π                                      
                   2
     = ( −1) k +1 .
                   k
     Получим ряд синусов:
                         sin x sin 2 x sin 3 x                             sin kx      
             f ( x ) = 2        −         +           − ... + ( −1) k + 1         + ....
                         1            2         3                             k        
     Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой
точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа
и слева, т.е. нулю.
     Однако эту же функцию f(x) = х можно продолжить на отрезок [–π, 0]
четным образом. Тогда на отрезке [–π, π] функция будет определена так:
               − x     −π≤ x ≤0
     f( x) =                          , или f ( x ) = x , − π ≤ x ≤ π .
                x        0  < x  ≤  π
     Эта функция, как и первая, будет кусочно монотонной и ограниченной на
отрезке − π ≤ x ≤ π .
     Продолжим ее на всю ось с периодом Т = 2π.
                                      Y



                           −π             0       π        2π        3π        4π
                                                                                    Х

     Определим коэффициенты Фурье:
         1 π           10             π      
     a0 = ∫ f ( x )dx =  ∫( − x )dx + ∫ x dx  = π ,
         π −π          π − π         0      