Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 24 стр.

                                   π
          1                                     
              0
     a k =  ∫ ( − x ) cos kx dx + ∫ x cos kx dx  =
          π − π                  0             
                                                         π
      1  − x sin kx                                                       
                       0        0                               π
                             1              x sin kx          1
     =                     + ∫ sin kx dx +                  − ∫ sin kx dx  =
      π     k        −π    k −π               k        0    k0           
            − cos kx 0               π
        1                  cos kx         2
     =                  +              =      (cos k π − 1) =
       πk     k     −π       k      0 πk
                                             2


       0 при k четном
       
    = 4
       −     2
                 при k нечетном ;
        πk
                                                     π
                           10                                     
                      bk =  ∫ ( − x ) sin kx dx + ∫ x sin kx dx  = 0.
                           π − π                   0             
    Таким образом, получаем ряд:
              π 4  cos x cos 3 x cos 5 x                  cos( 2 p + 1) x       
    f ( x ) = −  2 +                   +         + ... +                 + ... .
                                                                                 
              2 π 1              3 2
                                            5 2
                                                            ( 2 p + 1) 2
                                                                                 
    Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна функции f ( x ) = x ,
заданной на отрезке [–π, π].