Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 21 стр.

        1 π                    1π
                                                                   0
                      1 0                   1
    a0 = ∫ f ( x )dx = ∫ 1 dx + ∫ ( −1) dx = x                          −
        π −π          π −π     π0           π                      −π
           π
     1             1               1
    − x        =     [ 0 − ( −π)] = ( π − 0 ) = 1 − 1 = 0.
     π     0       π               π
        1 π                   1 0           1π
    an = ∫ f ( x ) cos nx dx = ∫ cos nx dx − ∫ cos nx dx =
        π −π                  π −π          π0
                   0                 π
      1 sin nx            1 sin nx
    =                   −                 = 0.
      π n          −π     π n        0

        1 π                   1 0           1π
    bn = ∫ f ( x ) sin nx dx = ∫ sin nx dx − ∫ sin nx dx =
        π −π                  π −π          π0
                        0                 π
       1 cos nx                1 cos nx             1
    =−                       +                =−      (cos 0 − cos nπ) +
       π n              −π     π n        0        πn
        1                       2                       2
    +     (cos πn − cos 0 ) = (cos πn − cos 0 ) =          [( −1) n − 1].
       πn                      πn                      πn
                                                                  4
    Таким образом: a0 = 0, an = 0, b2n = 0, b2 n +1 = −                  .
                                                             π( 2 n − 1)
    Значит,
               4 ∞ sin( 2 n − 1) x        4  sin x sin 3 x sin 5 x            
     f( x) = − ∑                     =−           +         +           + ...  .
               π n =1 2 n − 1             π 1         3           5           
    Точкой разрыва является точка х = 0. В ней сумма ряда равна:
                             f ( −0 ) + f ( 0 ) 1 + ( −1 )
                                               =           =0.
                                     2               2
    На концах отрезка сумма ряда равна:
                             f ( −π) + f ( π) 1 + ( −1)
                                                =          =0.
                                     2               2
    Нарисуем график суммы ряда S(x).




                        −π                    π        2π     3π            4π



     Итак, полученный ряд сходится к функции f(x) во всех точках х ∈ (–π, π),
где функция f(x) непрерывна. В точке х = 0 S(x) = 0.
     Отметим, что функция нечетная, а потому можно было не вычислять ко-
эффициенты an. Ряд Фурье для нечетной функции есть ряд синусов, а для чет-
ной — ряд косинусов.