Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 19 стр.

                                         1 π
                                   a0 = ∫ f ( x )dx .              (18)
                                         π −π
    Мы получили первый коэффициент для ряда Фурье функции f(x).
    Чтобы получить формулы для остальных коэффициентов этого ряда, рас-
смотрим предварительно некоторые определенные интегралы.
    Если n и k — целые числа, то имеют место следующие равенства:
    если n ≠ k, то
                                  π                       
                                  ∫  cos nx cos  kxdx = 0 
                                  −π                      
                                  π                       
                                                          
                                  ∫ cos nx sin kxdx = 0  ,          (I)
                                  −π                      
                                  π                       
                                  ∫ sin nx sin kxdx = 0 
                                  −π                      
если n = k, то
                                   π                      
                                   ∫
                                         2
                                     cos   kx dx  = π     
                                  −π                      
                                   π                      
                                                          
                                   ∫ sin kx cos kx dx = 0  .       (II)
                                  −π                      
                                   π                      
                                                          
                                   ∫ sin kx dx = π
                                        2
                                                          
                                  −π                      

    Вычислим, например, первый интеграл из группы (I).
                                   1
    Так как cos nx ⋅ cos kx = [cos( n + k ) x + cos( n − k ) x ], то
                                   2
          π
                                   1 π                  1 π
         ∫ cos nx ⋅ cos kx dx = 2 ∫ cos( n + k ) x dx + 2 ∫ cos( n − k ) x dx = 0 .
         −π                          −π                   −π
    Подобным же образом, используя тригонометрические формулы для про-
изведений синусов и синуса на косинус, мы получим и остальные формулы из
группы (I).
    Интегралы группы (II) вычисляются непосредственно, и это предлагается
сделать самостоятельно.
    Теперь можно вычислить коэффициенты ak и bk ряда из равенства (16). Для
разыскания коэффициента ak при каком-либо определенном значении k ≠ 0 ум-
ножим обе части равенства (16) на cos kx:
                        f ( x ) cos kx =
                                 ∞                                            (19)
                      a0
                     = cos kx + ∑( an cos nx cos kx + bn sin nx cos kx ) .
                      2         n =1