ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∑
∞
=
π
+
π
+→
1n
nn
0
l
nx
sinb
l
nx
cosa
2
a
)x(f
,
где коэффициентами являются выражения:
∫
∫
∫
−
−
−
=
π
=
=
π
=
=
l
l
n
l
l
n
l
l
0
...,2,1n,dx
l
nx
sin)x(f
l
1
b
...,2,1n,dx
l
nx
cos)x(f
l
1
a
dx)x(f
l
1
a
Такой ряд называется рядом Фурье.
Поясним с помощью чертежа, какие функции имеются в виду. Пусть, на-
пример, график функции на отрезке [–
l, l] выглядит так:
−
ll0
или так
−
ll0
−
аа
Становится ясно, что если речь идет о графике периодической функции, то
на языке современной математики это должна быть функция, которая кусочно-
монотонна на заданном интервале — периоде (–
l, l).
Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [а,
b
], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на
интервалы
1n21
x...,x,x
−
);x,a
(
1
)b,x(...);x,x
(
1n21 −
так, что на каждом из этих интервалов
функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.
Из определения следует, что если функция
f(x) — кусочно-монотонная и
ограниченная на отрезке [
а, b], то она может иметь только точки разрыва перво-
го рода. Действительно, если
х = с есть точка разрыва функции f(x), то в силу
монотонности функции существуют пределы
);0c(f)x(flim
0cx
−
=
−→
, т.е. точка с есть точка разрыва первого рода.
)0c(f)x(flim
0cx
+=
+→
Теорема 8. Если периодическая функция f(x) с периодом 2π кусочно-
монотонная и ограниченная на отрезке [–
π, π], то ряд Фурье, построенный для
этой функции, сходится во всех точках.
Сумма полученного ряда
S(x) равна значению функции f(x) в точках ее не-
прерывности. В точках разрыва функции
f(x) сумма ряда равняется среднему
арифметическому пределов функции
f(x) справа и слева:
∞ a0 πnx πnx f( x) → + ∑ an cos + bn sin , 2 n = 1 l l где коэффициентами являются выражения: 1 l a0 = ∫ f ( x ) dx l −l 1 l πnx an = ∫ f ( x ) cos dx , n = 1, 2 , ... l −l l 1 l πnx bn = ∫ f ( x ) sin dx , n = 1 , 2 , ... l −l l Такой ряд называется рядом Фурье. Поясним с помощью чертежа, какие функции имеются в виду. Пусть, на- пример, график функции на отрезке [–l, l] выглядит так: − l 0 l или так − l − а 0 а l Становится ясно, что если речь идет о графике периодической функции, то на языке современной математики это должна быть функция, которая кусочно- монотонна на заданном интервале — периоде (–l, l). Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [а, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x 1 , x 2 , ... x n −1 на интервалы ( a , x 1 ); ( x 1 , x 2 ); ... ( x n − 1 , b ) так, что на каждом из этих интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая. Из определения следует, что если функция f(x) — кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [а, b], то она может иметь только точки разрыва перво- го рода. Действительно, если х = с есть точка разрыва функции f(x), то в силу монотонности функции существуют пределы lim f ( x ) = f ( c − 0 ); x → c −0 lim f ( x ) = f ( c + 0 ) , т.е. точка с есть точка разрыва первого рода. x →c +0 Теорема 8. Если периодическая функция f(x) с периодом 2π кусочно- монотонная и ограниченная на отрезке [–π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках ее не- прерывности. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »