Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

=
π
+
π
+
1n
nn
0
l
nx
sinb
l
nx
cosa
2
a
)x(f
,
где коэффициентами являются выражения:
=
π
=
=
π
=
=
l
l
n
l
l
n
l
l
0
...,2,1n,dx
l
nx
sin)x(f
l
1
b
...,2,1n,dx
l
nx
cos)x(f
l
1
a
dx)x(f
l
1
a
Такой ряд называется рядом Фурье.
Поясним с помощью чертежа, какие функции имеются в виду. Пусть, на-
пример, график функции на отрезке [–
l, l] выглядит так:
ll0
или так
ll0
аа
Становится ясно, что если речь идет о графике периодической функции, то
на языке современной математики это должна быть функция, которая кусочно-
монотонна на заданном интервалепериоде (–
l, l).
Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [а,
b
], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на
интервалы
1n21
x...,x,x
);x,a
(
1
)b,x(...);x,x
(
1n21
так, что на каждом из этих интервалов
функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.
Из определения следует, что если функция
f(x)кусочно-монотонная и
ограниченная на отрезке [
а, b], то она может иметь только точки разрыва перво-
го рода. Действительно, если
х = с есть точка разрыва функции f(x), то в силу
монотонности функции существуют пределы
);0c(f)x(flim
0cx
=
, т.е. точка с есть точка разрыва первого рода.
)0c(f)x(flim
0cx
+=
+
Теорема 8. Если периодическая функция f(x) с периодом 2π кусочно-
монотонная и ограниченная на отрезке [–
π, π], то ряд Фурье, построенный для
этой функции, сходится во всех точках.
Сумма полученного ряда
S(x) равна значению функции f(x) в точках ее не-
прерывности. В точках разрыва функции
f(x) сумма ряда равняется среднему
арифметическому пределов функции
f(x) справа и слева:
                                   ∞
                              a0             πnx          πnx 
                      f( x) →    + ∑  an cos     + bn sin     ,
                              2 n = 1         l            l 
где коэффициентами являются выражения:
         1 l
     a0 = ∫ f ( x ) dx
         l −l
          1 l            πnx
      an = ∫ f ( x ) cos     dx , n = 1, 2 , ...
          l −l            l
          1 l            πnx
      bn = ∫ f ( x ) sin     dx , n = 1 , 2 , ...
          l −l            l
    Такой ряд называется рядом Фурье.
    Поясним с помощью чертежа, какие функции имеются в виду. Пусть, на-
пример, график функции на отрезке [–l, l] выглядит так:




                          − l                  0                         l


     или так




                          − l       − а        0           а         l

     Становится ясно, что если речь идет о графике периодической функции, то
на языке современной математики это должна быть функция, которая кусочно-
монотонна на заданном интервале — периоде (–l, l).
     Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [а,
b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x 1 , x 2 , ... x n −1 на
интервалы ( a , x 1 ); ( x 1 , x 2 ); ... ( x n − 1 , b ) так, что на каждом из этих интервалов
функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.
     Из определения следует, что если функция f(x) — кусочно-монотонная и
ограниченная на отрезке [а, b], то она может иметь только точки разрыва перво-
го рода. Действительно, если х = с есть точка разрыва функции f(x), то в силу
монотонности функции существуют пределы                                    lim f ( x ) = f ( c − 0 );
                                                                             x → c −0
 lim f ( x ) = f ( c + 0 ) , т.е. точка с есть точка разрыва первого рода.
x →c +0
     Теорема 8. Если периодическая функция f(x) с периодом 2π кусочно-
монотонная и ограниченная на отрезке [–π, π], то ряд Фурье, построенный для
этой функции, сходится во всех точках.
     Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках ее не-
прерывности. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему
арифметическому пределов функции f(x) справа и слева: