Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 18 стр.

                                              f ( c − 0) + f ( c + 0)
                              S( x )x = c =                           .
                                                         2




                                                            f( с - 0)
                                                                            f( с + 0)

                     −π           − с                                   с               π




     Пусть дана функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы. Предполо-
жим, что она периодическая с периодом 2π. Тогда везде, где она непрерывна,
справедливо равенство:
                                                   ∞
                                          a0
                                 f( x) =       + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) .    (16)
                                           2 n =1
     Пусть знакоположительный числовой ряд
                            a0
                                + a1 + b1 + a2 + b2 + ... + an + bn + ...        (17)
                             2
сходится. Каждый член этого ряда по модулю не меньше соответствующего
члена ряда, стоящего в правой части равенства (16).
     В таком случае говорят, что ряд (17) мажорирует ряд из равенства (16).
Ряд, мажорируемый сходящимся рядом (17), а следовательно, и равенство (16),
можно интегрировать почленно от –π до π, что мы и сделаем:
             π               π           ∞  π                   π            
                               a0
             ∫ f ( x ) dx = ∫ 2   dx  + ∑ ∫ n
                                                 a  cos nxdx + ∫ nb sin nxdx .
                                                                              
            −π              −π          n = 1 − π              −π            
     Вычислим отдельно каждый интеграл из правой части этого равенства.
      π
        a0
      ∫ 2 dx = πa0 ;
     −π
     π                    π                             π
                                       an sin nx
     ∫ n
       a cos nx dx = a n ∫ cos nx dx =
                                           n
                                                                    = 0;
     −π                 −π                              −π
     π                    π                              π
                                        bn cos nx
     ∫ bn sin nx dx = bn ∫ sin nx dx = − n                              = 0.
     −π                 −π                               −π
     Следовательно,
                                        π

                                        ∫ f ( x )dx = πa0 ,
                                        −π
откуда