Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Члены ряда, получившегося в правой части этого равенства, не превосхо-
дят по модулю членов сходящегося знакоположительного ряда (17). Поэтому
можно почленно интегрировать ряд из равенства (19) на любом отрезке:
.)kxdxcosnxsinbkxdxcosnxcosa(
kxdxcos
2
a
dxkxcos)x(f
1n
nn
0
∑
∫∫
∫∫
∞
=
π
π−
π
π−
π
π−
π
π−
++
+=
Принимая во внимание формулы (I) и (II), видим, что все интегралы в пра-
вой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом
a
k
. Следовательно,
π==
∫∫
π
π−
π
π−
k
2
k
adxkxcosadxkxcos)x(f ,
откуда
dxkxcos)x(f
1
a
k
∫
π
π−
π
=
. (20)
Умножая обе части равенства (16) на sin kx и снова интегрируя от –π до π,
найдем:
π==
∫∫
π
π−
π
π−
k
2
k
bdxkxsinbdxkxsin)x(f ,
откуда
dxkxsin)x(f
1
b
k
∫
π
π−
π
=
. (21)
Таким образом, мы вывели коэффициенты ряда Фурье для функции с пе-
риодом 2
π. Рассуждая аналогично, можно было бы вывести формулы для коэф-
фициентов ряда Фурье функции с периодом
2l.
Рассмотрим примеры разложения функций в ряд Фурье.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию:
π≤≤−
<
≤
π
−
=
x0если,1
0xесли,1
)x(f
−π π
1
−1
ХО
Продолжив эту функцию периодически с периодом 2
π на всю ось, получим
функцию, разложимую в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье: 
    Члены ряда, получившегося в правой части этого равенства, не превосхо-
дят по модулю членов сходящегося знакоположительного ряда (17). Поэтому
можно почленно интегрировать ряд из равенства (19) на любом отрезке:
     π
                           a0 π
     ∫ f ( x ) cos kx dx = 2 ∫ cos kxdx +
     −π                       −π
          ∞     π                       π
    +    ∑( an ∫ cos nx cos kxdx   + bn ∫ sin nx cos kxdx ) .
         n =1   −π                     −π
     Принимая во внимание формулы (I) и (II), видим, что все интегралы в пра-
вой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом ak. Следовательно,
                        π                           π

                       ∫ f ( x ) cos kx dx = ak ∫ cos
                                                         2
                                                             kx dx = ak π ,
                       −π                           −π
откуда
                                         1 π
                                     ak = ∫ f ( x ) cos kx dx .               (20)
                                         π −π
    Умножая обе части равенства (16) на sin kx и снова интегрируя от –π до π,
найдем:
                        π                           π

                        ∫ f ( x ) sin kx dx = bk ∫ sin
                                                         2
                                                             kx dx = bk π ,
                       −π                           −π
откуда
                                    1 π
                               bk = ∫ f ( x ) sin kx dx .           (21)
                                    π −π
    Таким образом, мы вывели коэффициенты ряда Фурье для функции с пе-
риодом 2π. Рассуждая аналогично, можно было бы вывести формулы для коэф-
фициентов ряда Фурье функции с периодом 2l.

    Рассмотрим примеры разложения функций в ряд Фурье.
    Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию:
                             1 ,  если − π ≤ x < 0
                     f( x) = 
                             − 1, если 0 ≤ x ≤ π

                                                1

                               −π           О                 π    Х
                                        −1

    Продолжив эту функцию периодически с периодом 2π на всю ось, получим
функцию, разложимую в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье:

Страницы