ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 2. Разложить функцию f(x) = x
2
(0 < x < 2π) в ряд Фурье.
Продолжим функцию на всю числовую ось с периодом Т = 2
π.
−4π −2π 0 2π 4π Х
Y
Продолженная функция не является ни четной, ни нечетной. Вычислим ее
коэффициенты Фурье:
.
3
8
3
x1
dxx
1
a
2
2
0
3
2
0
2
0
π
=
π
=
π
=
π
π
∫
.
n
nxsin
n
nxcos
3
4)x(f
.
n
4
dxnxsinx
1
b
.
n
4
dxnxcosx
1
a
1n1n
2
2
2
2
0
2
n
2
2
0
2
n
π−+
π
=
π
−=
π
=
=
π
=
∑∑
∫
∫
∞
=
∞
=
π
π
Отметим следующий весьма важный факт: разложение функции в ряд Фу-
рье не единственно.
Пример 3. Пусть f(x) = x, 0 ≤ x ≤ π.
π
0
Y
X
Продолжив эту функцию нечетным образом на отрезок [–
π, 0], а затем на
всю ось с периодом Т = 2
π, получим нечетную функцию, график которой изо-
бражен ниже.
f(x) = x, –π <x ≤ π.
Пример 2. Разложить функцию f(x) = x2 (0 < x < 2π) в ряд Фурье.
Продолжим функцию на всю числовую ось с периодом Т = 2π.
Y
−4π −2π 0 2π 4π Х
Продолженная функция не является ни четной, ни нечетной. Вычислим ее
коэффициенты Фурье:
2π 2π
1 1 x3 8π2
∫ x dx = π 3
2
a0 = = .
π 0
3
0
2π
1 4
∫x
2
an = cos nx dx = .
π 0 n2
2π
1 4π
∫x
2
bn = sin nx dx = − .
π 0 n2
π2 ∞
cos nx ∞
sin nx
f ( x ) = 4 +∑ 2
− π ∑ n .
3 n = 1 n n =1
Отметим следующий весьма важный факт: разложение функции в ряд Фу-
рье не единственно.
Пример 3. Пусть f(x) = x, 0 ≤ x ≤ π.
Y
0 π X
Продолжив эту функцию нечетным образом на отрезок [–π, 0], а затем на
всю ось с периодом Т = 2π, получим нечетную функцию, график которой изо-
бражен ниже.
f(x) = x, –π 
