Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 16 стр.

                        2π     
            A sin ω x +     + ϕ = A sin[(ωx + ϕ) + 2 π] = A sin( ωx + ϕ).
                        ω      
                                                                                        1
     Амплитуда A есть максимальное отклонение точки М от О. Величина
                                                                                        T
                                                                             2π
— это число колебаний в единицу времени. Следовательно, ω =                     есть число
                                                                             T
колебаний за отрезок времени 2π. Величина ϕ — начальная фаза — характери-
зует положение точки М в начальный момент, так как при t = 0 S0 = A sinϕ.
     Всякую гармонику можно представить в виде
                                а cos ωt + b sin ωt,
     и обратно, всякая функция такого вида есть гармоника.
                              2π           2π π
     Пусть T = 2l; тогда T =      , ω=        = . Тогда гармоника с периодом T =
                              ω            T      l
2l может быть записана так:
                                      πx            πx
                               a cos        + b sin     .
                                       l             l
     Рассмотрим гармоники вида
                                      πkx              πkx
                              ak cos         + bk sin       , k = 1, 2 , ...           (14)
                                         l                l
                  πk                         2 π 2l
с частотами ωk =      и периодами T k =           = ; так как T = 2l = kTk, число T =
                   l                         ωk k
2l является периодом для всех гармоник вида (14) сразу, поскольку период, ум-
ноженный на целое число, опять дает период.
     Теперь рассмотрим бесконечный тригонометрический ряд
                                ∞
                                             πkx            πkx 
                           A + ∑  ak cos           + bk sin     .                    (15)
                               k = 1           l              l 
     Если он сходится, то сумма его также представляет собой функцию перио-
да 2l. Трактуя каждую гармонику как простое гармоническое колебание, а сум-
му ряда (15) — как характеристику сложного колебательного движения, полу-
чим разложение этого движения в сумму отдельных гармонических колебаний.
Это стало ясным уже в XVIII в.
     В 1748 г. в одной из своих пятнадцати работ, посвященных задаче о коле-
баниях струны, Эйлер дает решение одного из частных случаев уравнения в ви-
де тригонометрического ряда, а в 1753 г. Д. Бернулли (1700—1782) предлагает
уже общее решение уравнения в аналогичной форме, исходя из того, что звук,
издаваемый колеблющейся струной, складывается из основного тона и беско-
нечного множества обертонов. Эйлер считал такую форму представления
функции недостаточно общей. Встал вопрос: какой же класс функций может
быть представлен тригонометрическими рядами? Ответить на него удалось
только в XIX в.
     В 1807 г. Ж. Б. Фурье (1756—1830) в работах по аналитической теории те-
пла доказал, что функции, заданные на конечных участках отрезка [–l, l] раз-
личными уравнениями, представимы на любом таком отрезке рядом