Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

A
B
T
2
T
1
xx + ∆
ϕ
ϕ + ∆ϕ
0 l X
Тейлор нашел частное решение уравнения (11), которое в его работе, ко-
нечно, было выведено в других обозначениях.
Частное решение представляло собой периодическую функцию, близкую к
функции, которую в современных обозначениях можно записать так:
)xsin(Ay
ϕ
+
ω
=
. (12)
Такая функция называется гармоникой с амплитудой
A , частотой ω и на-
чальной фазой
ϕ. А, ω, ϕ — постоянные, ω связана со струной, а А и ϕ — произ-
вольные. Понятие гармоники связано с задачей механики о простейшем колеба-
тельном движении — гармонических колебаниях.
Пусть материальная точка М с массой
m движется по прямой под действи-
ем силы
F, пропорциональной расстоянию S точки М от фиксированной точки
О и направленной к точке О.
F
M
O
S
F = –k S,
где k > 0 — коэффициент пропорциональности.
kS
d
t
Sd
m
2
2
−=
или
0S
d
t
Sd
2
2
2
=ω+ , (13)
где
m
k
2
=ω , откуда
m
k
=ω
.
Решением полученного дифференциального уравнения (13) будет функция
)tsin(AS
ϕ
+ω= , где А и ϕ — постоянные, которые можно вычислить, зная
положение и скорость точки М в момент времени
t = 0. S есть периодическая
функция времени
t с периодом
ω
π
=
2
T . Значит, под действием описанной таким
образом силы
F точка М будет совершать колебательное движение.
Функция (12) имеет период
ω
π
=
2
T . Действительно, при любом х 
                                              T2
                              B                    ϕ + ∆ϕ
                        A
                  ϕ
         T1

              0         x      x+∆                          l      X


     Тейлор нашел частное решение уравнения (11), которое в его работе, ко-
нечно, было выведено в других обозначениях.
     Частное решение представляло собой периодическую функцию, близкую к
функции, которую в современных обозначениях можно записать так:
                                 y = A sin( ωx + ϕ) .                    (12)
     Такая функция называется гармоникой с амплитудой A , частотой ω и на-
чальной фазой ϕ. А, ω, ϕ — постоянные, ω связана со струной, а А и ϕ — произ-
вольные. Понятие гармоники связано с задачей механики о простейшем колеба-
тельном движении — гармонических колебаниях.
     Пусть материальная точка М с массой m движется по прямой под действи-
ем силы F, пропорциональной расстоянию S точки М от фиксированной точки
О и направленной к точке О.
                      O                   F            M


                                      S

                                     F = –k S,
    где k > 0 — коэффициент пропорциональности.
                                      d 2S
                                   m 2 = − kS
                                      dt
    или
                                       d 2S
                                          2
                                            + ω2 S = 0 ,                  (13)
                                       dt
          k                k
где ω2 = , откуда ω =        .
         m                 m
    Решением полученного дифференциального уравнения (13) будет функция
S = A sin( ωt + ϕ) , где А и ϕ — постоянные, которые можно вычислить, зная
положение и скорость точки М в момент времени t = 0. S есть периодическая
                                   2π
функция времени t с периодом T =      . Значит, под действием описанной таким
                                   ω
образом силы F точка М будет совершать колебательное движение.
                                    2π
    Функция (12) имеет период T =       . Действительно, при любом х
                                     ω

Страницы