Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 13 стр.

                                     ∞
    1) если несобственный интеграл   ∫ f ( x ) dx   сходится, то сходится и ряд (1);
                                     1
    2) если такой интеграл расходится, то расходится и ряд (1).


           2 Знакочередующиеся ряды и признак их сходимости

    Рассмотренные выше знакоположительные ряды, играющие важную роль в
исследовании функциональных рядов, не исчерпывают, однако, все случаи чи-
словых рядов, которые могут встретиться при этом исследовании. Как мы уже
                          ∞
видели на примере ряда   ∑( −1) n , важную роль играют и знакочередующиеся
                         n =1
ряды. Для исследования сходимости таких рядов используется признак Лейб-
ница.
     Г. В. Лейбниц (1646—1716), великий немецкий математик и философ, на-
ряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и инте-
грального исчисления.
     Рассмотрим ряд:
                                    u1 − u 2 + u3 − u4 + ...           (10)
где u1 , u2 , u3 ,... положительны.
     Теорема 7. Если в знакочередующемся ряде (10) абсолютные величины его
членов все время убывают и, кроме того, стремятся к нулю, то такой ряд схо-
дится.
     Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных
величин его членов. Абсолютно сходящиеся ряды обладают целым рядом
свойств, облегчающих решение многих задач. Для таких рядов справедлив пе-
реместительный закон; члены такого ряда можно группировать и объединять в
скобки (раскрывать скобки не всегда можно); сумму абсолютно сходящегося
ряда можно рассматривать как разность суммы ряда из положительных членов
и суммы ряда из модулей отрицательных членов. Поэтому решение многих за-
дач, связанных как с числовыми, так и с функциональными рядами, удобно
сводить к исследованию абсолютно сходящихся рядов, а тогда приходится ра-
ботать со знакоположительными рядами. Именно этим объясняется особая роль
знакоположительных рядов во всей рассматриваемой теории.
     Рассмотренные два вида числовых рядов — знакоположительные и знако-
чередующиеся — используются нами для исследования функциональных ря-
дов, среди которых наиболее применимы в механике и различных разделах фи-
зики степенные и тригонометрические ряды. Ряды Тейлора и Маклорена отно-
сятся к степенным рядам. Обратимся теперь к истории возникновения тригоно-
метрических рядов.