Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

открытие, опередившее время, спустя многие десятилетия заняло должное ме-
сто в сформировавшейся к этому времени теории.
Этот признак получен величайшим немецким математиком рубежа
XVIII—XIX вв. Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855).
1.7 Признак Гаусса
Допустим, что для знакоположительного ряда
отношение
∑
∞
=
1n
n
a
1n
n
a
a
+
мо-
жет быть представлено в виде:
2
n
1n
n
n
na
a
θ
+
µ
+λ=
+
,
где
λ и µ — постоянные, а θ
n
есть ограниченная величина: L
n
≤θ ; тогда ряд
сходится, если
λ > 1 или если λ = 1, µ > 1, и расходится, если λ > 1 или λ = 1, µ ≤
1.
Случаи, когда
λ > 1 или λ < 1, приводятся к признаку Д’Аламбера, так как
λ
=
+
∞→
1
a
a
lim
n
1n
n
.
Пусть теперь
λ = 1. Тогда
µ=
θ
+µ=
−= R;
n
1
D
1
nR
n
n
n
,
и случаи
µ > 1, µ < 1 исчерпываются признаком Раабе.
Наконец, если
µ = 1, то
nnn
n
nln
)1R(nlnB θ⋅=−⋅= .
Так как
0
n
nln
lim
n
=
∞→
, а
θ
n
ограничена, то
0BlimB
n
n
=
=
∞→
, и по признаку
Бертрана ряд расходится.
Следующий признак сходимости знакоположительного ряда отличается по
форме от всех предыдущих. Он основан на идее сопоставления ряда с интегра-
лом и доказан О. Л. Коши.
1.8 Интегральный признак Коши
Теорема 6. Пусть члены ряда
...u...uuu
n321
+
+
+
+
+
(8)
положительны и не возрастают, т.е.
...u...uuu
n321
≥≥≥≥≥ ,
и пусть
f(x) — такая непрерывная невозрастающая функция, что
n21
u)n(f...;;u)2(f;u)1(f =
=
=
. (9)
Тогда справедливы следующие утверждения: 
открытие, опередившее время, спустя многие десятилетия заняло должное ме-
сто в сформировавшейся к этому времени теории.
     Этот признак получен величайшим немецким математиком рубежа
XVIII—XIX вв. Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855).



                                    1.7 Признак Гаусса

                                                                 ∞
                                                                                    an
     Допустим, что для знакоположительного ряда                 ∑ an   отношение
                                                                                   an + 1
                                                                                          мо-
                                                                n =1
жет быть представлено в виде:
                              an         µ θ
                                    = λ + + n2 ,
                             an + 1      n n
где λ и µ — постоянные, а θn есть ограниченная величина: θn ≤ L ; тогда ряд
сходится, если λ > 1 или если λ = 1, µ > 1, и расходится, если λ > 1 или λ = 1, µ ≤
1.
     Случаи, когда λ > 1 или λ < 1, приводятся к признаку Д’Аламбера, так как
     a      1
 lim n + 1 = .
n → ∞ an    λ
     Пусть теперь λ = 1. Тогда
                                   1              θ
                          R n = n     − 1  = µ + n ; R = µ ,
                                   Dn              n
     и случаи µ > 1, µ < 1 исчерпываются признаком Раабе.
     Наконец, если µ = 1, то
                                                     ln n
                           B n = ln n ⋅ ( R n − 1) =      ⋅ θn .
                                                       n
                  ln n
     Так как lim        = 0 , а θn ограничена, то B = lim B n = 0 , и по признаку
              n →∞ n                                         n →∞
Бертрана ряд расходится.
     Следующий признак сходимости знакоположительного ряда отличается по
форме от всех предыдущих. Он основан на идее сопоставления ряда с интегра-
лом и доказан О. Л. Коши.


                           1.8 Интегральный признак Коши

    Теорема 6. Пусть члены ряда
                                   u1 + u 2 + u3 + ... + u n + ...                       (8)
положительны и не возрастают, т.е.
                           u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ... ,
и пусть f(x) — такая непрерывная невозрастающая функция, что
                            f ( 1) = u1 ; f ( 2 ) = u 2 ; ...; f ( n ) = u n .           (9)
    Тогда справедливы следующие утверждения:

Страницы