Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 10 стр.

            an + 1
    Пусть          = Dn — варианта Д’Аламбера. Если lim Dn = D существует и
             an                                        n →∞

                                    1       
отличен от единицы, то для R n = n    − 1  существует предел, равный +∞ при
                                    Dn      
D < 1 и равный –∞ при D > 1. Таким образом, если признак Д’Аламбера дает
ответ на вопрос о поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает.
При этом все такие случаи охватываются двумя значениями R: R = ±∞. Все ос-
тальные значения R, кроме R = 1, также дают ответ на вопрос о сходимости ря-
да, причем соответствуют случаям, когда D = 1 и признак Д’Аламбера ответа на
этот вопрос не дает.
     Если же R = 1, то и признак Раабе не подходит для исследования ряда. В
этом случае можно обратиться к еще более сильным признакам.


                             1.5 Признак Куммера

     Признак, принадлежащий немецкому математику Эрнсту Эдуарду Кумме-
ру (1810—1893), можно рассматривать как общую схему для построения при-
знаков сходимости рядов.
     Признак Куммера
     Пусть c1, c2, ..., cn, ... — произвольная последовательность положительных
                          ∞
                              1
чисел, такая, что ряд ∑          расходится.
                             c
                         n =1 n
                                                ∞
    Рассмотрим знакоположительный        ряд   ∑ an ; выражение
                                               n =1
                                         an
                              K n = cn         − cn + 1
                                        an + 1
назовем вариантой Куммера для этого ряда. Если для ∀n > N выполняется нера-
венство Kn ≥ δ, где δ = const, δ > 0, то ряд сходится. Если же ∀n > N Kn ≤ δ, то
ряд расходится.
     Предельная форма признака Куммера
     Допустим, что варианта Куммера имеет конечный или бесконечный пре-
дел:
                                   lim K n = K .
                                 n →∞
     Тогда при K > 0 ряд сходится, а при K < 0 — расходится.
     Некоторые признаки сходимости можно рассматривать как частные случаи
признака Куммера:
                                       ∞
                                           1
     1. Пусть cn = 1. Тогда ряд ∑            расходится. Если Dn → D , то
                                          c
                                      n =1 n                    n →∞
             1
K n → K = − 1 (K = +∞, если D = 0; K = –1, если D = +∞).
   n →∞     D