Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 8 стр.

                  1.1 Признаки сравнения, доказанные Коши

     Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда:
                                   u1 + u 2 + ... + u n + ...              (1)
                                   v1 + v2 + ... + vn + ...                (2)
     Если члены ряда (1) не больше членов ряда (2), т.е.
                                  u n ≤ vn ( n = 1, 2 , 3 , ...)           (3)
     и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
     Теорема 2. Пусть даны ряды (1) и (2). Если члены ряда (1) не меньше соот-
ветствующих членов ряда (2), т.е.
                                       u n ≥ vn                            (4)
     и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится.
     Теорема 3 (предельная форма признака сравнения). Пусть даны два ряда
(1) и (2). Если
                                        u
                                   lim n = A > 0 ,                         (5)
                                   n →∞ v n
     то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.


                           1.2 Признак Д’Аламбера

     В 1768 г. французский математик и философ Ж. Л. Д’Аламбер исследовал
отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и пока-
зал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Ко-
ши в 1821 г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости
знакоположительных рядов, называемый теперь признаком Д’Аламбера.
     Теорема 4. Если в ряде с положительными членами
                                    u1 + u 2 + ... + u n + ...                (6)
отношение (n + 1)-го члена к n-му при n → ∞ имеет конечный предел l, т.е.
                                            u
                                       lim n + 1 = l ,                        (7)
                                      n →∞ un
     то:
     1) ряд сходится в случае l < 1,
     2) ряд расходится в случае l > 1.
     В случае l = 1 теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (1).
                                                                    u
     Замечание. Ряд будет расходиться и в случае, когда lim n + 1 = ∞ . Это сле-
                                                               n → ∞ un

                             u
дует из того, что если lim n + 1 = ∞ , то, начиная с некоторого номера n = N, бу-
                        n → ∞ un

                               u
дет иметь место неравенство n + 1 > 1 или un + 1 > un .
                                 un
                          u
     Если предел lim n + 1 не существует или равен единице, то признак
                    n → ∞ un
Д’Аламбера не дает возможности установить, сходится ряд или расходится. Та-