Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 7 стр.

дящимся, если его общий член un стремится к нулю при возрастании n. Однако
это условие лишь необходимо для сходимости ряда. Возможны случаи, когда
общий член ряда стремится к нулю, а ряд расходится, например, расходящийся
                      ∞
                          1
гармонический ряд ∑ , общий член которого, очевидно, стремится к нулю.
                     n =1 n
     В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных ре-
зультатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826 г.
Н. Г. Абель (1802—1829) называл расходящиеся ряды «дьявольским измышле-
нием». Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в. В совре-
менной математике расходящиеся ряды составляют важный раздел.
     Вернемся к вопросу о сумме сходящегося ряда. В формировании этого по-
нятия большую роль сыграл французский ученый О. Л. Коши (1789—1857). Он
сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и в теории пределов, в
разработке самого понятия предела. В любом курсе математического анализа
встречается много теорем Коши, связанных с этим понятием. Именно Коши
заявил в 1826 г., что расходящийся ряд не имеет суммы. Он же сформулировал
критерий сходимости рядов.
                           ∞
    В сходящемся ряде      ∑ un , где un > 0, величина        S n + p − S n , ∀p ∈ N стре-
                          n =1
мится к нулю, когда n стремится к бесконечности. Более и более точные при-
ближения одной и той же величины должны сами между собой меньше и
меньше различаться. Из этого критерия следует и необходимый признак сходи-
мости, который был известен еще в XVIII в.: если ряд сходится, его общий член
стремится к нулю.
    В самом деле, из сходимости ряда имеем:
                         S n + p − S n → 0 , ∀p ∈ 1 , 2 , ... .
    Можно представить, что р = 1. Тогда
                      S n + 1 − S n = un + 1 , un + 1 → 0 .
                                                    n →∞
    Особое значение критерия Коши заключается в том, что он не только необ-
ходимое, но и достаточное условие сходимости ряда. Иными словами, если в не-
котором ряде разность двух частичных сумм S n + p − S n , т.е. величина un+1 + un+2
+ ... + un+p по модулю может быть сделана сколь угодно малой при достаточно
большом n и ∀ p = 1, 2, ..., то ряд u1 + u2 + ... + un + ... сходится.
     На практике мы обычно пользуемся не критерием Коши, а четырьмя доста-
точными признаками сходимости знакоположительных рядов.