Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 5 стр.

    Если у последовательности частичных сумм числового или функциональ-
ного ряда существует конечный предел при n → ∞, то этот предел называется
суммой ряда, а сам ряд называется сходящимся.
    Сумма сходящегося числового ряда представляет собой число. Суммой
сходящегося функционального ряда является некоторая функция.
                                               ∞
    Если в функциональный ряд                 ∑ f n( x )   подставить конкретное значение х =
                                              n =1
                                        ∞
х0, то получится числовой ряд           ∑ f n( x 0 ) . Если он сходится, то точка х0 называет-
                                       n =1
ся точкой сходимости функционального ряда. Множество D всех точек сходимо-
                                   ∞
сти функционального ряда         ∑ f n( x )          называется областью сходимости этого ря-
                                 n =1
да. В области сходимости ряда его остаток после n-го члена
 f n + 1( x ) + f n + 2( x ) + ... стремится к нулю при n → ∞.
        Часто бывает удобно разложить ту или иную функцию в функциональный
ряд, который сходится к ней на некотором множестве. Другими словами, не-
редко ставится такая задача: пусть дана функция f(x). Найти такой функцио-
нальный ряд, который на множестве D сходится и сумма его есть функция f(x).
        Однако не следует думать, что по такой же схеме действовали математики,
с именами которых мы связываем сегодня формирование теории рядов. Эта
теория создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления
функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642—1727). В
1676 г. в его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появи-
лась формула:
                                    m     m( m − 1) 2 m( m − 1)( m − 2 ) 3
               ( 1 + x )m = 1 + x +                   x +               x + ...
                                     1      1⋅2             1⋅2⋅3
                  m( m − 1)( m − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 m
               +                                      x ,
                                     m!
которую мы знаем как формулу бинома Ньютона. Здесь мы видим функцию (1
+ х)m, представленную в виде многочлена. Но если число m не является нату-
ральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сум-
ма слагаемых, то есть ряд.
        Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685—1731)
в 1715 г. доказал, что любой функции, имеющей в точке х0 производные всех
порядков, можно сопоставить ряд:

                                    f ′( x 0 )              f ′′( x 0 )
            f ( x ) → f ( x0 ) +               ( x − x0 ) +             ( x − x 0 ) 2 + ...
                                        1!                      2!
             f ( n )( x 0 )
           +                ( x − x 0 ) n + ...
                   n!

    Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией f(x), прини-
мающей конечное значение для любого значения х0, и стоящим справа функ-
циональным рядом. Для того чтобы вместо знака «→» можно было поставить