ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения,
связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства
и касающиеся области сходимости ряда.
При
х
0
= 0 формула Тейлора принимает вид, в котором называется форму-
лой Маклорена:
...x
!n
)0(f
...x
!2
)0(f
x
!1
)0(f
)0(f)x(f
n
)n(
2
+++
′′
+
′
+→
Колин Маклорен (1698—1746), ученик Ньютона, в работе «Трактат о
флюксиях» (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую
функцию, — единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой
функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях
х пред-
ставляют собой значения
!n
)0(f
)n(
, где f(x) = (1 + x)
m
.
Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допус-
кающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая
рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено,
что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки
ввести это понятие.
Например, Л. Эйлер (1707—1783), выписав для функции соответствующий
ей степенной ряд, придавал переменной
х конкретное значение х
0
. Получался
числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер считал значение исходной функции в
точке
х
0
. Но это не всегда верно.
Рассмотрим пример. Пусть дана функция
x
1
1
+
. Это сумма геометриче-
ской прогрессии, поэтому соответствующий ей степенной ряд будет иметь вид:
1 – х + х
2
– х
3
+ х
4
– ...
Пусть
х = 1. Подставив это значение в степенной ряд, получим числовой
ряд:
1 – 1 + 1 – 1 + .... Эйлер, полагая и в исходной функции х = 1, получал
2
1
и
считал, что это и есть сумма ряда . Он обосновал это следующим обра-
зом: если ввести обозначение
1 – 1 + 1 – 1 + ... = S и затем перенести первое сла-
гаемое в правую часть, получим:
– 1 + 1 – 1 + 1 – ... = S – 1. Но тогда все, что
останется в левой части равенства, можно считать равным –
S. Значит, получа-
ется: –
S = S – 1, откуда 1 = 2S;
∑
∞
=
−
0n
n
)1(
2
1
S
.
=
Однако последовательность частичных сумм числового ряда
1 –1 + 1 – 1 +
... не имеет предела, т.е. этот ряд расходится. Степенной ряд 1 – х + х
2
– х
3
+ ...
сходится только в интервале (–1, 1), и именно в этом интервале функция
x
1
1
+
разлагается в ряд
1 – х + х
2
– х
3
+ х
4
– ... .
О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться
только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работа-
ли над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд
схо-
∑
∞
=
1n
n
u
знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения,
связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства
и касающиеся области сходимости ряда.
При х0 = 0 формула Тейлора принимает вид, в котором называется форму-
лой Маклорена:
f ′( 0 ) f ′′( 0 ) 2 f ( n )( 0 ) n
f ( x ) → f ( 0) + x+ x + ... + x + ...
1! 2! n!
Колин Маклорен (1698—1746), ученик Ньютона, в работе «Трактат о
флюксиях» (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую
функцию, — единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой
функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях х пред-
f ( n )( 0 )
ставляют собой значения , где f(x) = (1 + x)m.
n!
Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допус-
кающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая
рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено,
что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки
ввести это понятие.
Например, Л. Эйлер (1707—1783), выписав для функции соответствующий
ей степенной ряд, придавал переменной х конкретное значение х0. Получался
числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер считал значение исходной функции в
точке х0. Но это не всегда верно.
1
Рассмотрим пример. Пусть дана функция . Это сумма геометриче-
1+x
ской прогрессии, поэтому соответствующий ей степенной ряд будет иметь вид:
1 – х + х2 – х3 + х4 – ...
Пусть х = 1. Подставив это значение в степенной ряд, получим числовой
1
ряд: 1 – 1 + 1 – 1 + .... Эйлер, полагая и в исходной функции х = 1, получал и
2
∞
считал, что это и есть сумма ряда ∑( −1) n . Он обосновал это следующим обра-
n =0
зом: если ввести обозначение 1 – 1 + 1 – 1 + ... = S и затем перенести первое сла-
гаемое в правую часть, получим: – 1 + 1 – 1 + 1 – ... = S – 1. Но тогда все, что
останется в левой части равенства, можно считать равным –S. Значит, получа-
1
ется: –S = S – 1, откуда 1 = 2S; S = .
2
Однако последовательность частичных сумм числового ряда 1 –1 + 1 – 1 +
... не имеет предела, т.е. этот ряд расходится. Степенной ряд 1 – х + х2 – х3 + ...
1
сходится только в интервале (–1, 1), и именно в этом интервале функция
1+x
2 3 4
разлагается в ряд 1 – х + х – х + х – ... .
О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться
только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работа-
∞
ли над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд ∑ un схо-
n =1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
