Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 9 стр.

кой ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся. Однако, если
       u                       u
 lim n + 1 = 1 , но отношение n + 1 для всех номеров n, начиная с некоторого,
n → ∞ un                        un
                                                                  u
больше единицы, то ряд расходится. Это следует из того, что если n + 1 > 1 , то
                                                                   un
un + 1 > un и общий член не стремится к нулю при n → ∞ [5].


                          1.3 Радикальный признак Коши

    Теорема 5. Если для ряда с положительными членами
                          u1 + u 2 + +u3 ... + u n + ...
величина   n   un имеет конечный предел l при n → ∞, т.е. lim         n   u n = l , то:
                                                               n →∞
    1) в случае l < 1 ряд сходится;
    2) в случае l > 1 ряд расходится.
    Как и в признаке Д’Аламбера, случай lim            n   un = l = 1 требует дополни-
                                                n →∞
тельного исследования, так как среди рядов, удовлетворяющих этому условию,
могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся.
    Во всех случаях, когда признак Д’Аламбера дает ответ на вопрос о сходи-
мости ряда, этот ответ можно получить и с помощью признака Коши. Обратное
утверждение неверно, т.е. признак Коши сильнее признака Д’Аламбера. Ясно,
однако, что во многих случаях и этого признака недостаточно для характери-
стики поведения ряда.


                                 1.4 Признак Раабе

      Сформулируем признак, полученный швейцарским математиком Йозефом
Людвигом Раабе (1801—1859). При использовании этого признака данный ряд
                                        ∞                               ∞
                                              1                             1
сравнивается со сходящимся рядом ∑ 1 + σ ( σ > 0 ) или расходящимся ∑ .
                                       n =1 n                          n =1 n
      Введем так называемую варианту Раабе:
                                         a        
                                R n = n n − 1  .
                                         an + 1   
      Признак Раабе: если при достаточно больших n выполняется неравенство Rn
≥ r, где r — постоянное число, большее единицы, то ряд сходится; если же, начи-
ная с некоторого места, Rn ≤ 1, то ряд расходится.
      На практике применяется преимущественно предельная форма признака
Раабе.
      Допустим, что варианта Rn имеет предел (конечный или нет):
                                     lim R n = R .
                                    n →∞
    Тогда при R > 1 ряд сходится, а при R < 1 — расходится.
    Сравним признаки Д’Аламбера и Раабе.