Теория рядов. Основные понятия в их историческом развитии. Зубова И.К. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

При D > 1 очевидно, что K < 0 и, по признаку Куммера, ряд расходится;
если же
D < 1, то K > 0 и ряд сходится. Мы получили, таким образом, признак
Д’Аламбера.
2. Теперь будем считать
c
n
= n.
Ряд
∑
∞
=1n
n
1
расходится. Выражение K
n
получает вид:
1R)1n(
a
a
nK
n
1n
n
n
−=−−=
+
.
Если
R
, то
R
n
n
∞→
→ 1RKK
n
n
−
=
→
∞→
(К = ±∞, если R = ±∞).
При
R > 1 будет K > 0 и по признаку Куммера ряд сходится. Если же R < 1,
то
K < 0 и ряд расходится. Мы получили признак Раабе.
3. Теперь возьмем
c
n
= n ln n (n
≥
2). Такой выбор допустим, поскольку ряд
∑
∞
=1n
nlnn
1
расходится.
В этом случае
1n
n
1n
1n
n
n
n
1
1lnB
n
1
1ln11
a
a
nnlnK
+
+
+
+−=
+−
−
−=
.
B
n
— это новая варианта:
)1R(nln11
a
a
nnlnB
n
1n
n
n
−⋅=
−
−=
+
.
Отсюда получается новый признак сходимости, полученный французским
математиком Жозефом Луи Франсуа Бертраном (1822—1900), который, как и
Коши, окончил знаменитую Парижскую Политехническую школу и затем в ней
работал.
1.6 Признак Бертрана
Допустим, что варианта
B
n
имеет предел (конечный или нет):
BBlim
n
n
=
∞→
.
Тогда при
B > 1 ряд сходится, а при B < 1 — расходится. В самом деле,
так как
1eln
n
1
1lnlim
1n
n
==
+
+
∞→
, то варианта Куммера K
n
стремится к пределу
K = B – 1 (K = +∞, если B = +∞). Теперь остается опять сослаться на признак
Куммера.
Таким образом, мы видим целую цепь все усиливающихся, но при этом ус-
ложняющихся признаков сходимости рядов, причем эта цепь может неограни-
ченно продолжаться.
Когда математиками XIX в. была выстроена эта цепь, из нее легко был по-
лучен признак, который, как и признак Д’Аламбера, был сформулирован значи-
тельно раньше. Мы видим, таким образом, один из многих примеров того, как 
    При D > 1 очевидно, что K < 0 и, по признаку Куммера, ряд расходится;
если же D < 1, то K > 0 и ряд сходится. Мы получили, таким образом, признак
Д’Аламбера.
    2. Теперь будем считать cn = n.
          ∞
              1
    Ряд ∑ расходится. Выражение Kn получает вид:
         n =1 n
                                a
                        K n = n n − ( n − 1) = R n − 1 .
                               an + 1
    Если R n → R , то K n → K = R − 1 (К = ±∞, если R = ±∞).
             n →∞            n →∞
     При R > 1 будет K > 0 и по признаку Куммера ряд сходится. Если же R < 1,
то K < 0 и ряд расходится. Мы получили признак Раабе.
     3. Теперь возьмем cn = n ln n (n ≥ 2). Такой выбор допустим, поскольку ряд
 ∞
     1
∑ n ln n расходится.
n =1
     В этом случае
                                                        n +1                   n +1
                       an                      1                     1
          K n = ln n n      − 1  − 1 − ln 1 +        = B n − ln 1 +  .
                          a
                       n +1                    n                     n
     Bn — это новая варианта:
                                   a          
                      B n = ln n n n − 1  − 1 = ln n ⋅ ( R n − 1) .
                                   a n +1     
     Отсюда получается новый признак сходимости, полученный французским
математиком Жозефом Луи Франсуа Бертраном (1822—1900), который, как и
Коши, окончил знаменитую Парижскую Политехническую школу и затем в ней
работал.


                              1.6 Признак Бертрана

    Допустим, что варианта Bn имеет предел (конечный или нет):
                                lim B n = B .
                                    n →∞
     Тогда при B > 1 ряд сходится, а при B < 1 — расходится. В самом деле,
                      n +1
                  1
так как lim ln 1 +    = ln e = 1 , то варианта Куммера Kn стремится к пределу
        n →∞      n
K = B – 1 (K = +∞, если B = +∞). Теперь остается опять сослаться на признак
Куммера.
     Таким образом, мы видим целую цепь все усиливающихся, но при этом ус-
ложняющихся признаков сходимости рядов, причем эта цепь может неограни-
ченно продолжаться.
     Когда математиками XIX в. была выстроена эта цепь, из нее легко был по-
лучен признак, который, как и признак Д’Аламбера, был сформулирован значи-
тельно раньше. Мы видим, таким образом, один из многих примеров того, как

Страницы